向大烟头等人解释什么是48同态

铯_猪哥恐鸣

我感觉，大烟头，乌木，忍大师对24同态应该已经比较认可。
对48同态的不认可也主要是因为对“镜像状态”的不认可。下面我争取一个帖子解释一下什么是镜像状态。

镜像状态我的定义：

对于状态A，任取达到状态A的一个公式G。
取G的镜像公式G' (比如如果G=FRUR’U‘F’，则G‘=F’L‘U’LUF)
则 G' 所对应的魔方状态 A’ 即为状态A的镜像状态。
注：这个定义只是为了方便大家理解，更准确的定义我会贴在本文最下面。

从上面定义可以看出：
1) 镜像状态不是魔方在镜子中的状态，而是针对镜像公式而言的。
2) 镜像状态是通过公式G'转动得到的，所以镜像状态都是合法状态，而不是不可能达到的状态。

问题一：镜像状态是否唯一？
答：由于上面定义中镜像状态是通过转动定义的，而对于一个状态A，存在无穷多个公式G，那么是不是每一个G‘都对应同一个A’呢，还是对于某个状态会产生无穷多个A‘？
这个问题在我的定义下确实证明起来比较麻烦，但结论是肯定的。即对于一个状态A，对于它的任意一个公式G，G’均对应同一个状态。

问题二：镜像状态能否与转动序列无关？
上面的定义中，镜像状态是定义在转动序列之上的，但是对于给定的一个状态，如果不知道它的转动序列，或者能否不通过求它的转动序列而直接得到它的镜像状态呢？
答：答案是肯定的。使用转动序列来定义镜像状态只是为了方便理解，实际上求一个状态的镜像状态确实是与转动序列无关的（甚至连装错的状态也可以定义镜像状态）。


附：CubeExplorer的帮助文档中对48同态的定义（其中，S_LR2就对应与镜像状态）：

For each cube there are up to 48 equivalent cubes, because the cube has 48 symmetries including reflections. In Cube Explorer, these 48 symmetries are generated by four "basic" symmetries:
S_URF3, a 120 degree turn of the cube around an axis through the URF-corner and DBL-corner,
S_F2, a 180 degree turn of the cube around an axis through the F-center and B-center,
S_U4, a 90 degree turn of the cube around an axis through the U-center and the D-center
S_LR2, a reflection at the RL-slice plane.
These basic symmetries are permutations of the corners and permutations of the edges and are described in cubedefs.htm.
Any of the 48 symmetries is uniquely generated by the product
(S_URF3)x1 * (S_F2)x2 * (S_U4)x3 * (S_LR2)x4
with x1 from 0..2, x2 from 0..1, x3 from 0..3 and x4 from 0..1. This tuple (x1,x2,x3,x4) is mapped to a natural number from 0..47 by
16*x1 + 8*x2 + 2*x3 + x4
In this way each of the symmetries has an associated index from 0..47. With S(i) we denote the symmetry which belongs to the index i.
Two cubes with the permutations A and B are equivalent if and only if there is an i with
S(i)-1*A*S(i) = B
All cubes which are equivalent, belong to the same equivalence class.
In Cube Explorer the S(i) are implemented in the arrays CornSym and EdgeSym in the unit symmetries.pas

ggglgq

　　
　　
　　
  
    噢，我目前不打算整理我以前在论坛中发表的任何帖子。因为论坛中竟然有人宣称要
  
对我本人 诉诸法律 解决问题，因此我本人在论坛中发表的所有帖子，我不会做任何修改
  
（除了当时发帖的时段）。论坛中的帖子被修改了，会“授人以柄”的。    抱歉了！
　　
　　
　　
　　
　　　　

黑白子

ggglgq 发表于 2013-9-5 12:58
　　
　　
  

楼上链接那个帖子已面目全非了，能否整理或更新解释一下？

ggglgq

　　
　　
  
    我总觉得，有很多东西需要“悟性”，而非楼主的“苦口婆心”地解释或讲解。 对于外行人来说，
  
“反复讲解”无异于“越抹越黑”。比如 28 楼的高论，让我很无语...... 而本主题中的“被讲解对象”
  
的反应，也让我很无语......  再想想我当初花了 100 余楼给 乌木 解释的结果，更让我很无语......
  
        http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=viewthread&tid=6220
  
    因此，人的“悟性”很重要！
　　
　　
　　　　
　　
　　
　　
　　

黑白子

48同态的定义是仅仅针对2、3阶魔方呢，还是可以扩展到更高阶魔方？扩展到高阶魔方是否需要更多的代换？

小鱼宝儿

各位大师在此，我就现一下丑....
首先我想知道引入48同态的目的。在这之前，我想知道什么是同态。
根据我自己的理解，我对“同态”有两个定义不知到哪个是对的，
一、在所有魔方状态中（约24*4.3*10^19个），如果两个状态仅仅通过x,y,z，x',y,'z'这6个字符组成的公式（即仅通过魔方整体转动，而不进行拧动）便可相互转换，那么这两个状态为同态。不难知道，对于任何一个状态，都有23个状态与其同态，所以说24同态是有道理的。
二、在研究上帝之数为多少时，我们应该这样做，把所有状态的最少步步数都写出来，找到最大的那个为上帝之数。但我们不必这么麻烦，我发现任意一个状态的最少步被计算出来后，会有好多与其有联系的状态根本无需计算，那些状态的最少步步数和已经计算出来的这个状态的最少步步数一样。比如说，上面的24同态，只需计算出来一个，其他23个无需计算。但对于一个状态来说，计算出来他的最少步步数后，不仅仅是其他23个不必计算，还有好多，比如楼主说的镜像状态，虽然不在这23个状态内，但也无需计算。另外加上其他23个状态的镜像状态，便是47个状态无需计算。这样48同态也是有道理的。这里同态指，若一个状态的最少步步数被计算出来后，另一个状态无需计算，可直接证明其最少步步数与已经证明出来的相同，则这两个状态同态。
若按照第二种解释，我认为就不仅仅是48同态了。
15楼有一个公式计算函数：
对应关系：
F<-->F'
B<-->B'
U<-->U'
D<-->D'
L<-->R'
R<-->L
如果从复原状态出发，通过两个公式到达两个状态，且这两个公式有以上对应关系，那么这两个状态为镜像状态。我是如此理解镜像状态的。既然如此，我想问一下为什么要有上述对应关系？大家不妨看一下这个，htt p://bbs.rubik.com.cn/attachments/1302112258d4b277a8ed5ef5ad.jpg.thumb.jpg..............................
这里给出了另一个对应关系。
如果两种对应关系都考虑，岂不是96同态了？
当然类似对应关系还很多，有12！个。
是不是可以说有24*2^（12！）同态？

小鱼宝儿

大烟头 发表于 2011-7-14 08:39
24同态是指魔方在盒子中有24种放入的状态，魔方是同一个状态。主要是表现在以魔方外为参照计算魔方总状态时 ...

我的心声啊！

smok

我们英文很差，麻烦你把定义准确翻译一次

铯_猪哥恐鸣

大烟头，忍大师。。。你们一定没看英文吧。。。难怪会有各种问题。。。

我记得我说了，我的定义只是为了便于理解，更精确的定义请看英文。。。

smok

真没想到，最小步理论区的关键概念和定义都大有问题，这还怎么个玩法？