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三角形中的六点共圆 IMO2008 [复制链接]

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电梯直达

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发表于 2011-7-28 17:59:35 |只看该作者 |正序浏览

给定一个锐角三角形△ABC，垂心为H。Ma、Mb、Mc分别为三条边的中点。以Ma为圆心，过点H的圆与线段BC相交于点A1、A2；类似地，以Mb、Mc为圆心，过点H的圆与三角形交于B1、B2、C1、C2。求证：A1、A2、B1、B2、C1、C2六点共圆。

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发表于 2011-8-31 01:24:01 |只看该作者

我来解释一下楼上的第2个同理
否则,会有三个圆,分别是
四边形A1A2B1B2,A1A2C1C2,B1B2C1C2的外接圆
对他们使用根心定理
发现如果不两两重合
两两根轴AB，BC，CA应当共点，矛盾！

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发表于 2011-7-29 14:16:57 |只看该作者

BMa^2-MaH^2=(BC^2-BH^2-CH^2)/2=BH*CHcosA
同理..==>BA1*BA2=BC1*BC2==>A1A2C1C2共圆
同理..==>六点共圆

这题灰常简单的..

不知不觉这个号就申了四年多了吖..关键是还有密码登..
赶脚还有另一个号..也不造是哪个新点..

一眨眼都八年多了....

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发表于 2011-7-28 19:02:11 |只看该作者

这几天好多贴都和魔方无关.........我吃完饭再看你这道题.....

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