球面上的四只蚂蚁

钟七珍

　　有四只蚂蚁A、B、C、D，平均分布在半径为1的球面上，A追逐B，B追逐C，C追逐D，D追逐A。都是按照球面上的最短距离去追逐。四只蚂蚁速度都是1。 那么，最终会怎样？四只蚂蚁能否碰面？能的话运动了多长时间和多长距离？。。。

　　有两种矛盾的思路：
　　一、根据对称，四只蚂蚁不会碰头。
　　二、.最后四只蚂蚁都在一个大圆上，互相追赶，永无止境。
　　除了上述两种思路外，是否还会有第三种？

lanjingling

你的计算表达真是太好了，起初我还以为这个函数表达式不会很复杂（幂指数、对数、三角、反三角等函数复合）。
另外，对于球面位置坐标，使用经纬度来表示比用直角坐标要简化很多，并且便于理解。

lulijie

要求ABCD坐标随时间变化的方程，不一定要用直角坐标(x,y,z)的方法。可以用经纬度的方法。经度j，纬度w.
x、y、z和j、w满足以下关系式。
x=cosw*cosj
y=cosw*sinj
z=sinw
-------------------------------------------
ABCD的经纬度随时间的变化，只要知道一只蚂蚁的方程即可，其他蚂蚁可以用它推出。
假设任何时候，A的坐标(j1,w1),B(j2,w2),C(j3,w3),D(j4,w4).
那么以下任何时候都成立：
     w1=w3=-w2=-w4
      j2=j1-π/2      j3=j2-π/2    j4=j3-π/2  （即任何蚂蚁和自己所追的对方经度相差永远等于90度。）
------------------------------------------------
对于B蚂蚁：
因为 dw=-sinw/ sqrt(1+(sinw)^2)*dt
所以 dt=-sqrt(1+(sinw)^2)/sinw*dw
对上式积分就可求得B蚂蚁到达任何位置时的时间。
t=∫(w0,w){ -sqrt(1+(sinw)^2)/sinw}                   ∫(a,b){f(x)}表示对f(x)从a积到b的定积分。
再加上 j=ln(sqrt(2))+ln(tan(w))
就可表示B到达任何位置的时间t。
而对 -sqrt(1+(sinw)^2)/sinw 的积分我不会求精确函数，不过可以求近似值。
另外当蚂蚁绕球一圈时，w已接近数值0，所以 sqrt(1+(sinw)^2)近似等于1
对于只要求-1/sinw的积分即可，求出的积分=-ln(tan(w/2))
蚂蚁绕一圈时，j=-2*π,此时w=atn(e^(-2π)/sqrt(2))=0.00132048065157392182498809843643
    初始w0=0.61547970867038734106746458912399
绕一圈所花费的时间=∫(0.61547970867038734106746458912399,0.00132048065157392182498809843643){ -sqrt(1+(sinw)^2)/sinw} =6.265
对于绕一圈以上的可以用以下近似函数表示：
        t=6.265+(-ln(tan(w/2)+ln(tan(0.00132048065157392182498809843643/2))
     即t=-ln(tan(w/2)-5.106   
    也可写成  w=2*atn(e^(-t-5.106))       式a
    加上         j=ln(sqrt(2))+ln(tan(w))     式b
    就可表示B蚂蚁位置与时间的关系式.

[ 本帖最后由 lulijie 于 2011-9-6 22:10 编辑 ]

lanjingling

楼上分析得很好，如果能有这四个点的坐标随时间变化的方程就最好了！

题中的四只蚂蚁位置对称，但是运动路径并不是两两对称，指向性为A→B→C→D→A，其中A→C、B→D方向空缺，这就造成直线AC、BD的特殊性，AC⊥BD，这两条直线可以确定一个平面，这个平面平行于AC和BD，且和AC、BD的距离相等。

lulijie

下面计算蚂蚁爬行曲线的方程，和蚂蚁到达赤道花费的时间。
还是按照45楼的方法建立空间直角坐标系。采用地球系统的经度、纬度表示法。东经为正，西经为负，北纬为正，南纬为负。
初始位置也和45楼的一样。
下面以B为例建立曲线方程。B(w,j)表示t时刻，B的位置在北纬w，东经j的位置。
B的初始位置(w0,j0),    tan(w0)=sqrt(2)/2,    j0=0
可以得到以下微分方程：
dw=-sinw/ sqrt(1+(sinw)^2))*dt    纬度的微分与时间的微分的关系。
dj= -dt/sqrt(1-(sinw)^4)                 经度的微分与时间的微分的关系。（B的经度随着时间逐渐减少。）
两式联立消去dt，解出
   j=ln(sqrt(2))+ln(tan(w))         式1
或w=atn(e^j/sqrt(2))               式2     atn： 反正切
------------------------------------------------
从式2可以描出B的曲线方程。
    当j=-π时，B刚好绕球体半圈，这时，w=1.7502341982899068216149234499044°，接近赤道。
    当j=-2π时，B刚好绕球体一圈，这时，w=0.07565796826387070443024922587528°，已经非常接近赤道。
    j=-4π时，w=0.000014128700504914625558898770742487°。
但无论B绕球体多少圈，w永远不会等于0，即B永远到不了赤道，只能无限接近赤道。
也就是说赤道平面是4只蚂蚁的终极目标，只能无限接近，永远不会到达。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2011-9-7 00:20 编辑 ]

钟七珍

42楼：中轴的建立应是此题里程碑式的判断！
　　“畫中軸, 其實这個步驟很重要, 4面体有6條棱, 螞蟻一隻追一隻, 只有4條線, 因此中軸只能向一個方向”！
　　我的理解：尽管四面体有６条棱，但四只蚂蚁追逐的路线只有４条。而这４条线首尾相连接，围成了一个４边形曲面，这个曲面的法线就只可能有一根！就是这根“中轴”。
　　往下，就容易理解这四只蚂蚁追逐的最终结果是一个大圆了。
　　而这个大圆却是一个不“稳”的大圆。这点，１４楼及不少帖子有详细的讨论。用电脑编程要用到小量误差，而这小量误差造成了大圆的不“稳”，所以运算的结果就追逐相会到一点了！

华容道

猜想3：“若四只蚂蚁都在一个大圆上，互相追赶，永无止境，则每一只蚂蚁与球心的连线与大圆所在平面都应有相同的夹角，这样的平面存在么？”通过楼上几位的分析答案是肯定的，就是垂直于对称轴的那个大圆所在平面!太妙了！

Cielo

楼上两位说得对！

这个对称性本来应该很容易看出来的，只是一开始看到没有正四面体那么完美的对称，于是直接认为不对称了……

lulijie

回复44楼：
用的软件是自己用VB6.0编的程序。

lulijie

通过下面的叙述，大家对于为什么四只蚂蚁最后会在一个大圆上运行，会很好理解。
以球心作为原点，AC、BD的中点连线作为z轴，过原点平行于AC的直线作为x轴，过原点平行于BD的直线作为y轴，建立直角坐标系，我们用地球的经纬度来类比说明。
B、D在北半球，B所在的经度为0度，纬度为x度，那么：
初始位置：A东经90度，南纬x度
      B经度0度，北纬x度
      C西经90度，南纬x度
      D经度180度，北纬x度。
A追B，就要经过赤道（即xy轴构成的平面），同理，B、C、D都要通过赤道才能追上对方。在到达赤道之前，由于分布在赤道两边，是不可能追上对方的。随着时间的进行，蚂蚁离赤道越来越近，根据对称性，4只蚂蚁会同时到达赤道，并且位于四等分点上，从而四只蚂蚁永远在赤道
上周而复始的追赶着对方，永远不可能追上。