【E蛋】平几趣题：嵌套问题

csgg

[ 本帖最后由 csgg 于 2011-9-25 12:56 编辑 ]

钟七珍

　　我确实是“将中间那个小正方体在垂直方向和水平方向上都扭动一下”。具体来说，是先绕Z轴旋转45度，再绕X轴旋转45度。没想到，第一次转45度就已经满足要求了！
　　看来，中间那个小正方体有两种不同的摆放角度，而得到的结果又是相同的。
　　按第一种摆放方式（从某个角度观察，与平面嵌套图相同），中间那个小正方体可以从周围的八个小正方体缝隙中滑出来；而用第二种我的摆放方式，中间那个小正方体是掉不出来的。

mowxqq

原帖由 钟七珍 于 2011-10-1 01:54 发表
　　将八个小正方体放在大正方体内的的八个角上，在大正方体边长为３的情况下，中间那个小正方体则与周边的八个小正方体角顶角。而此时，可以将中间那个小正方体在垂直方向和水平方向上都扭动一下，脱离八个小正方体 ...

钟老师的思路显然是正确的，但似乎应改成垂直方向或水平方向上扭一下。
其实也可以把2L的图像看成一个俯视图，每个方块代表一个正方体，我们只要叠两层即有10块，满足了要求。
回去看了下自己的过程，发现确实有不对的地方，，一直试图从面的角度考虑问题，而这些问题的突破口似乎在顶点上。

比如5个正四面体，6个正六面体，9个正方体，7个正八面体都可以类似考虑，之间有问题由于正八面体的数量不对一直遇到问题.
一直追求中心对称，如下图这样，似乎结果还是3，而钟老师的方案是轴对称的，那么其他多面体的最佳方案不知是否为中心对称的情形，比如正四面体？

[ 本帖最后由 mowxqq 于 2011-10-1 22:24 编辑 ]

Cielo

截面刚好就是平面情形，所以答案是同一个数。

钟七珍

　　将八个小正方体放在大正方体内的的八个角上，在大正方体边长为３的情况下，中间那个小正方体则与周边的八个小正方体角顶角。而此时，可以将中间那个小正方体在垂直方向和水平方向上都扭动一下，脱离八个小正方体，这样就可以缩短八个小正方体之间的距离！
　　14楼、16楼错误。
　　我计算的结果，包容空间中九个棱长为1的正六面体的最小正六面体的棱长为2＋(√2)／2　。答案居然与2楼平面嵌套的结果相同！巧合？

Cielo

组合数学里面好像有“堆球”问题。

woodd

原帖由 mowxqq 于 2011-9-30 22:32 发表
只能推导正多形呈对称排布时的最小包容壳的一些形态，在这种情形下可以证明9个边长为1的正八面体的最小同形包容壳边长为3，目前发现2种不同的组合：(1)就是钟老提出的先以3*3=9个正八面体以3*3铺开，然后在这9个正八 ...

mowxqq 的意思是我答对啰!

但我仍然无法真正理解你当初的设想.

mowxqq

只能推导正多面体呈对称排布时的最小包容壳的一些形态，在这种情形下可以证明9个边长为1的正八面体的最小同形包容壳边长为3，目前发现2种不同的组合：(1)就是钟老提出的先以3*3=9个正八面体以3*3铺开，然后在这9个正八面体之上还可以嵌入4个正八面体，在这4个正八面体上面还可以嵌入一个，这样就是边长为3的正八面体可以包容19个边长为1的正八面体;(2)在一个边长为1的正八面体的八个面上各粘一个八面体，能够包容这种刺球的最小正八面体边长也为3。
对于不对称的情况。。正在琢磨怎么改进证明方法。。

若把题目改成求能够包容9个边长为1的正方体的最小正方体的棱长，那么可以证明即使在不对称的情况下，最小同形包容壳的边长是3.

对于平面嵌地砖的问题尚有很大的研究空间，空间嵌立体的问题应该更有挑战性。

[ 本帖最后由 mowxqq 于 2011-10-1 01:19 编辑 ]

csgg

没想一道小题引发了大家的讨论，太好了！

woodd

单看钟老题目:
"包容空间中九个棱长为1的正六面体的最小正六面体的棱长为多少？"

我觉得答案:

3

至于 mowxqq 所述,深度好高,我愚钝,仍需要几天慢慢消化.

mowxqq : "(期待有人能找到或者**此结论)"

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