有多少个三角形？

华容道

由凸n边形及其全部对角线所组成的图形中最多有多少个三角形？

PKUSMSBQ

只算形内的交点...

咖啡味的茶

呃。每两条顶点的线段都相交，所以交点有C（2，n）个，包括原本顶点，一共有（n^2+n)/2个。每三个顶点都有一个三角形，所以有C（3，（n^2+n)/2)个。

华容道

谢谢各位高手

Fenz

是我错了，而且验证了4和5就没验证下去。我搞笑了
8楼的思路我看懂了，5楼的思路还是没看懂

PKUSMSBQ

原帖由 hjt0619 于 2012-4-12 22:23 发表
我的答案是C(n,3)+4C(n,4)+5C(n,5)+C(n,6)
跟暴强的就第三项对不到，不知道哪错了。

额。。。我打错了，我原来是想打nC(n-1,5)的，你的答案是正确的

hjt0619

我的答案是C(n,3)+4C(n,4)+5C(n,5)+C(n,6)
跟暴强的就第三项对不到，不知道哪错了。

PKUSMSBQ

怎么可能过任意3条对角线就一定能组成一个三角形呢？比如说n>=6时：A1A3与A1A4与A1A5这三条就搞笑了
再比如说n>=9时，A1A3与A4A6与A7A9也搞笑了

[ 本帖最后由 PKUSMSBQ 于 2012-4-12 18:09 编辑 ]

Fenz

约定组合函数C(a,b)=a!/(b!(a-b)!)，和楼上相同的记法
满足条件的n边形有n条边，C(n,2)-n条对角线，过一点的对角线有n-3条。
任意三条对角线可组成一个三角形，数量为C(C(n,2)-n,3)；
两条相邻边及一条确定的对角线可组成一个三角形，数量为n；
一条边和过其两个端点并相交的两条对角线，可以组成一个三角形，这其中三角形三个顶点都在多边形定点的有n(n-4)个，其余nC(n-2,2)个。
总数为：C(C(n,2)-n,3)+nC(n-2,2)+n(n-3)
此式适用于n>=4，当n=3时显然三角形个数是1

PKUSMSBQ

C(n,3)+nC(n-1,3)+nC(n-2,4)+C(n,6)
(经8楼提醒，改成C(n,3)+nC(n-1,3)+nC(n-1,4)+C(n,6)

[ 本帖最后由 PKUSMSBQ 于 2012-4-13 11:28 编辑 ]