一个几何悖论

jx215

如下图，ABCD为矩形，在矩形外选取一点E，使得DC=DE。G、F分别为BC、BE中点，然后过G、F分别作垂线，两条垂线相交于H。连接H与ABDE四点，就形成了下图，为了让证明过程更清晰，已经把一些相等的线段染成了同一种颜色。

因H在AD的垂直平分线上，故AH=DH。因H在BE的垂直平分上，故BH=EH。因DC=DE且ABCD为矩形，故AB=DE。至此，ΔABH和ΔDEH的三边都相等，根据“边边边”（初中平面几何里学的全等三角形判定条件之一），ΔABH与ΔDEH全等。因此∠BAH=∠EDH。上式两边分别减去∠HAD和∠HDA（因等腰三角形，这二角显然相等），则可得出图中α、β二角相等！显然，α为直角，而β为钝角！

这肯定是错误的,请说明错在哪里.

qajlyhqpy

早就看过了

gqc294981

要是能做个立体的东西就好了 哈哈 估计就不是悖论了

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A,D在EH同侧.
字数.

jx215

后来看了一下,发现H点是三角形BCE外心,因此DH垂直平分CE,那HE应该在DH的右侧.

乌木

1楼的问题是否这样考虑：E点在矩形外面，E逐渐向左靠近C点时，H点迅速下移；HE连线迅速靠近HD连线；但是HE连线不可能越过D点侵入矩形。（当极限情况——E移动到和C点重合时，G点也和F点重合，GH和FH线相交（H点）在无穷远处，HE连线和HD、CD线重合，即D点EH线上，因此在E逐渐向左靠近C点的整个过程中，直到极限，HE连线始终在矩形D点的外侧。）
所以，不可能出现1楼图片所示的情况，即D点不可能落在ΔHBE的外面，因而就不可能出现所谓“钝角β”的情况。图画错，结论就错了。
对吗？

[ 本帖最后由 乌木 于 2012-4-25 10:20 编辑 ]

乌木

昨天把9楼我画的图给一位物理老师看了，他认为还是作图不准造成的。他说夹角很小的两直线相交，交点用眼睛估，就不能保证正确位置了。用ACAD作图（见下图），就能较准地定位，有自动数值计算。

phileas

充分说明了使用作图来证明几何定理是不够严谨的(虽然看上去没有图只是起方便理解的作用，但是有些性质是直接从图上看出来的)
只有通过几何公理推导才放心。

乌木

好像“精确”作图后，悖论还是存在——△HAB和△HDE还是三边分别相等，但是看上去两个三角形不像是全等的。怎么会的？不像是视觉误差呀？！是不是画得还不够精确才使两个三角形看上去不相等的？

好像E点位置取成这样的话，虽然D点处于△HBE内部了，但是和楼主问的悖论不同了，对吧？是否还是要像1楼图片那样，但是再画得精确些，再探讨楼主指出的两个角不等的悖论。

[ 本帖最后由 乌木 于 2012-4-22 21:53 编辑 ]

hubo5563

作图不准确导致的，精确作图D点应该在三角形BEH内。

[ 本帖最后由 hubo5563 于 2012-4-22 08:37 编辑 ]