又一个关于魔方的数学趣题

小鸿99

最近迷上最少步，研究的时候发现一个问题：
当一个三阶魔方已还原n个面时（注意，是面，面！），魔方可能有几种形态？
举例：当n=0时，为总形态数（那个数我背不过）
　　　当n=6时，只有一种形态
　　　当n=5时，同n=6
问题：
（1）当n=1/2/3/4时，各有多少种形态？
（2）当不为三阶魔方时（如二阶、高阶），以上数目各为多少？
（3）当包括拆散重拼情况时，又各有多少种情况？

我智商不行，琢磨半天也想不出来，求大神指教
PS：最好给出计算过程，不给也可以

小鱼宝儿

乌木 发表于 2014-2-1 20:46
其实我对这类排列组合问题是搞不大清的，搞不好就弄错。下面试试说一下“相对两面未复原而其余四面已复 ...

乌木老师谦虚了，我们高中学的排列组合也只是皮毛而已。不过这次“相对两面未复原而其余四面已复原的状态数“，我们确实达成了一致，思路是完全一样的，你列的 ”〔(2^4)/2 - 1〕x 3“，和我的”3*2^4/2-3+12*2*2^2/2-12=57“等号左边加号之前的部分含义一样。

乌木

小鱼宝儿 发表于 2014-2-1 16:55
的确是我错了，最终答案是不是3*2^4/2-3+12*2*2^2/2-12=57？

其实我对这类排列组合问题是搞不大清的，搞不好就弄错。下面试试说一下“相对两面未复原而其余四面已复原”的状态数，不知说的对不对。

设顶面和底面未复原，此时角块都已复原来着，且不可变化，唯一可变的是FU和FD，RU和RD，BU和BD，LU和LD四对棱块分别交换或不交换，所以，变化数为
          〔(2^4)/2 - 1〕x 3＝21 。
除以2是因为二交换的总次数必须为偶数，排除奇数次二交换的状态。
减去1是因为有一个状态是顶面和底面也复原，即魔方有六面复原了，不属于四面复原态。
乘以3是作为顶底色的颜色对子数目为3对。

小鱼宝儿

乌木 发表于 2014-2-1 09:42
15楼对于“相对两面未复原而其余四面已复原”的情况说：

好像不对吧？此时任一角块有所移动的话，已经复 ...

的确是我错了，最终答案是不是3*2^4/2-3+12*2*2^2/2-12=57？

小鱼宝儿

乌木 发表于 2014-2-1 09:42
15楼对于“相对两面未复原而其余四面已复原”的情况说：

好像不对吧？此时任一角块有所移动的话，已经复 ...

有道理，让我想想..

乌木

15楼对于“相对两面未复原而其余四面已复原”的情况说：

好像不对吧？此时任一角块有所移动的话，已经复原的“其余四面”就不能保持都复原，也就是说此时角块不可能有2^4种位置变化了吧？

小鱼宝儿

不好意思，上面的想错了。

与魔为友

余挺 发表于 2012-12-8 21:43
4个面都没见过

这简单，u2，r2，u2，r2

小鱼宝儿

0000000000

小鱼宝儿

乌木 发表于 2012-12-8 22:29
三阶纯色魔方，参照中心块组，单单一面同色的条件下，这一面的四个角块的位置变化数为4！＝24，四个棱块的位 ...

乌木老师果然无处不在啊！
楼主的问题，我几年前见过，当时也没搞懂呵！不过对于n=0,5,6,这三种情况，我认为楼上几位说的不太确切。楼主说：“当一个三阶魔方已还原n个面时（注意，是面，面！）”这句话，意思是“仅还原n个面”还是“不少于n个面被还原”？我理解的是前者。按我理解，n=6时当然是一种状态，就是复原时的状态；n=5时，我认为这种状态数为0，因为我们不可能仅仅还原5面而剩余一面不还原；而n=0时，也不是魔方总状态数，因为魔方总状态中包括n=1,2,3,4,6的情况。
呐，貌似乌木老师理解的后者哎，这可咋办。