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趣题：皮筋上的蚂蚁 [复制链接]

123wyx

银魔

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电梯直达

1^#

发表于 2008-6-7 21:24:20 |只看该作者 |正序浏览

<

class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt; TEXT-INDENT: 28pt; mso-char-indent-count: 2.0">这是我在杂志上看到的一道题，题目大意如下：<?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com

ffice

ffice" /><o:p></o:p>
<

class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt; TEXT-INDENT: 28.5pt">一个绷直的均匀皮筋，两个端点分别在A、B两点。一只蚂蚁站在皮筋上，在皮筋上从A点向B的方向行进。（已知若皮筋不动，蚂蚁在皮筋上的运动速度为<?xml:namespace prefix = st1 ns = "urn:schemas-microsoft-com

ffice:smarttags" /><st1:chmetcnv w:st="on" TCSC="0" NumberType="1" Negative="False" HasSpace="False" SourceValue="3" UnitName="cm">3cm</st1:chmetcnv>/s）与此同时，皮筋右端点从B开始以<st1:chmetcnv w:st="on" TCSC="0" NumberType="1" Negative="False" HasSpace="False" SourceValue="2" UnitName="cm">2cm</st1:chmetcnv>/s的速度向右移动（伸长过程中左端点始终固定在A点），AB=<st1:chmetcnv w:st="on" TCSC="0" NumberType="1" Negative="False" HasSpace="False" SourceValue="10" UnitName="cm">10cm</st1:chmetcnv>.求蚂蚁追上皮筋右端点所用的时间。<o:p></o:p>

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极度郁闷

蓝魔

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23^#

发表于 2008-7-9 12:41:13 |只看该作者

蚂蚁应该是在做匀减速运动 
 
哦，错了，应该在半程前是减速半程后是加速吧？感觉是，嘿嘿……

[ 本帖最后由极度郁闷于 2008-7-9 12:44 编辑 ]

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业余魔术师

红魔

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22^#

发表于 2008-7-8 19:49:02 |只看该作者

反正挺麻烦，高数的东西忘得差不多了，就不算了。

苏格拉底曾经说过，一个人的要求越少，他才会离上帝越近。如果真是这样，那么我应该听得到上帝的呼吸。也许，生活原本如此，一半是火焰，一半是海洋。。。

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Cielo

透魔

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发表于 2008-7-8 19:39:57 |只看该作者

这也许是高中物理竞赛题？但要用到微积分……
 
也可以这样看，将皮筋AB想象成一个周长为10cm的圆（AB两点重合），蚂蚁从A点开始爬，同时这个圆开始以恒定速度膨胀，这样蚂蚁的角速度可以算出来。
再列微分方程，左边是角速度对时间的积分，右边是周角2π
最后解方程就行了

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kexin_xiao

银魔

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发表于 2008-6-8 21:20:40 |只看该作者

我现在看见这样的题就晕,白河和乌木老师喜欢,让他们吧

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银魔

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发表于 2008-6-8 18:46:49 |只看该作者

我也有同感。这解答好像是对的

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cj503 cj503 当前离线最后登录 2023-12-8 在线时间 4334 小时阅读权限 0 注册时间 2004-9-14 积分 483 帖子 223 精华 0 UID 206 性别男 IP卡狗仔卡禁止发言积分 483 帖子 223 精华 0 UID 206 性别男串个门加好友打招呼发消息	18^# 发表于 2008-6-8 14:03:27 \|只看该作者提示: 作者被禁止或删除内容自动屏蔽

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金眼睛

蓝魔

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发表于 2008-6-8 11:25:14 |只看该作者

这道题需要求解微分方程，<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/lol.gif" border=0 smilieid="12"> 
 
假设蚂蚁的运动速度为V1，皮筋的运动速度为V2，皮筋的初始长度为L，则t时刻后，蚂蚁运动到S(t)的位置。
 
S(t)处皮筋的运动速度为V2*S(t)/(L+V2*t)，因为皮筋上各点的速度从0~V2是成正比例增加的。
 
蚂蚁相对于地面的速度为：dS(t)/dt=V1+V2*S(t)/(L+V2*t)，初始条件S(0)=0
 
解此微分方程可以得到：S(t)=V1*[ln(L+V2*t)-ln(L)]*(L+V2*t)/V2
 
而t时刻后皮筋的长度是：L(t)=L+V2*t
 
我用计算机计算了S(t)-L(t)=V1*(ln(L+V2*t)-ln(L))*(L+V2*t)/V2-L-V2*t  (V2=2;V1=3;L=10)的零解，得到t=4.73867020527338(s)
 
呵呵，又得到了零解的表达式T=(exp((V1*ln(L)+V2)/V1)-L)/V2
 
从这个表达式可以看出，就算蚂蚁的速度V1很小，只要蚂蚁的寿命足够，还是能爬到皮筋的另一端的，o(∩_∩)o...

[ 本帖最后由金眼睛于 2008-6-8 12:00 编辑 ]

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