求证几何题

jx215

第一题：




第二题：



第三题：

祭司zhangcy

梅涅劳斯定理、托勒密定理。。。。现在只记得这些名词了。。。。。

349694018

第一道题好像是某一年的二试题。。。。似曾相识= =

至尊达哥

看起来好高端

349694018

第三题好像比较简单= =
延长 DE至G点， 使 EG = DE
连接 GA，GB，GF， DF
显然 四边形 ADFG为平行四边形 ∠AGF = ∠ ADF， AG = FD， ∠FGD = ∠ ADG

考察△BDG， ∵BE⊥GD，E是 DG中点 且 ∠BDE=60°∴△BDG为正三角形

∵ ∠GBD = ∠ ABC， ∴ ∠GBA = ∠ DBC
∵ BG = BD， BA = BC
∴ △ GBA ≌ △DBC
∴DF = GA = DC 且 ∠GAB = ∠DCB = 60°

∵ ∠DGA + ∠ GDA + ∠ GAD = 180°，
∠GAD = ∠ GAB+∠DAB = 120°
∴ ∠DGA + ∠ GDA = 60°
即∠AGF = 60°
∴ ∠DFC + ∠ FCD = ∠ FDA = ∠FGA = 60°
又∵ FD = DC， 即∠DFC = ∠DCF
∴∠DCF = 30°
证毕。

jx215

349694018 发表于 2014-5-10 12:38
第三题好像比较简单= =
延长 DE至G点， 使 EG = DE
连接 GA，GB，GF， DF

前两题呢？

349694018

jx215 发表于 2014-5-20 22:49
前两题呢？

发现没思路后放弃了- -

tm__xk

第一题:
易知BCEGH共圆,BECG矩形,APC30度,DEG均为三等分点.结论等价于AG和EP的夹角为30度.
剩下的就算是直接死算,也只须证arctan(3sqrt3)-arctan(2/sqrt3)=30度.无难度.

第二题:
来试试直接无脑死算吧..
玩玩重心坐标..
a=y+z,b=z+x,c=x+y.
cot^2 (A/2)=x(x+y+z)/y/z,...
D(y;x;0),E(z;0;x),DG/EG=cot(B/2)/cot(C/2)==>G(z(x+y)cot(B/2)+y(x+z)cot(C/2);x(x+z)cot(C/2);x(x+y)cot(B/2))==>G(yz(b+c);xzb;xyc)
I(a;b;c),H(-a;b/cosC;c/cosB).
只须det((yz(b+c),xzb,xyc),(a,b,c),(-a,b/cosC,c/cosB))=0
<==>det(((b+c)/a/x,1/y,1/z),(1,1,1),(-1,1/cosC,1/cosB))=0
<==>det((1/y-(b+c)/a/x,1/z-(b+c)/a/x),(1+1/cosC,1+1/cosB))=0
<==>(ax-(b+c)y)(a^2+b^2-c^2)-(ax-(b+c)z)(a^2+c^2-b^2)=0
<==2(ax-(b+c)y)=a(b+c-a)-(b+c)(a+c-b)=b^2-c^2-a^2,...
(没有另作草稿,没用使用工具..很小的计算量嘛....对我来说←_←)

第三题:
记X为AC中点,BDEX共圆,角ACF=AXE=DBE=30度.

聚元号

好厉害！！！！！！！