一点历史：直升机魔方与Little Chop

redcarrot

照例，这篇还是为我自己的公众号“魔方范畴”里的“魔方图鉴”写的一篇文章。本来是想一篇把转棱六面体写完的，结果刚刚写了直升机与Little Chop两个就3000字左右了，在写作的过程中又重新了解了许多曾经知道过或从未知道的故事。或许经历过2007~2010那段时间的前辈们对这篇文章的内容都了如指掌，但对新入坑的朋友来说，应该还是有不少值得一看的内容的。

很尴尬的是，在写完准备发出来的刚刚，我才发现本区的上一篇文章就是至尊达哥写的关于24-cube（Little Chop）的文章……至少我的文章的前半部分的内容还是值得一看的，哈哈。

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2007年2月，老牌设计师Adam G. Cowan——也就是鬼魔、金氏金字塔与六棱柱三阶（魔盾）的设计师——在TP论坛公开了他的新作：直升机魔方，Helicopter Cube。虽然看上去很像二阶+斜转的混合切割，但它是一个立方体“转棱”的魔方，有12个旋转轴，旋转轴方向指向立方体的十二条棱的中点。它刚一面世，就引起了魔方玩家的广泛关注。

【Adam发在TP上的几张原图】

然而真正的传奇故事还在后面：1天之后，另一位老牌日本设计师——大师斜转、风火轮魔方等的设计者冈本胜彦Katsuhiko Okamoto跟帖宣称自己早已制作了这个魔方，取名为Bevel Cube，并已经在本国进行了小规模销售。他同时展示了他的魔方具有“变形”的能力，询问Adam的设计是否有相同的设计。Adam这才确认了自己的设计的确也可以“变形”。随后，冈本胜彦也带着他的Bevel Cube参加了2007年的第27届IPP（国际谜题设计大赛）。虽然两人独立设计在魔方的发展历史上数不胜数，但这一次“对决”，实在称得上是最精彩的之一了。（题外话，虽然直升机魔方没有获得那届IPP的奖项，但冈本的另一个传奇设计——空心魔方摘得了评委会桂冠。）

【冈本紧急公布在TP上的魔方jumble图，本来链接挂了很久了，今早mf8搜索恢复后发现了大烟头转发的图片，很开心】

这种“变形”在当时是非常神奇的发现——与普通魔方的形状变化不同，直升机魔方的“变形”更类似于一种捆绑，在变形后有些转动被阻碍了，而且这种捆绑并不能通过增加切割来完全解绑。Adam本人称这种变形为“jumble”，这个名词也延续了下来。对直升机魔方来说，“jumble”发生所需的转动角度是一个无理数arccos(1/3)，约70.53度。关于一般魔方的jumble及其成因并不是本文探讨的范围，以后再说吧。对于直升机魔方，Matt Galla于2015年1月在TP论坛发表了一篇文章，详细计算了通过jumble能达到的所有形状数：在将镜像对称的形状看作一种的情况下，共有14098种形状，最远需要28步旋转到达。其中，有一个25步到达的状态尤为神奇：Meson State，看起来就像是相对的两个角转了60度。就连设计了无数新奇魔方、第一批理解jumble本质的设计师之一的Oskar van Deventer，一开始都误认为这种情况只能通过拆装实现。

【这就是所谓的Meson State】

事实上，jumble是很“本质”的一种变形，允许这种变形产生，似乎远比阻止这种变形产生容易。2016年7月，David Pitcher在设计其它魔方时提出了一个问题：能否设计一个特殊的直升机魔方结构，使之不能jumble，只有旋转180度的操作？2017年2月，在经历了2次失败之后，Jason Smith终于交出了满意的答卷：HeliDoctre Cube。名字是Helicopter（直升机）+doctrinaire（教条主义的，在魔方术语里是与jumble相反的意思，任意完成一次转动后所有轴都能转动）——也是一个小小的文字游戏，后半部分读作“doctor”，博士。具体运用了什么结构我就不太懂了，似乎内部用到了一些多层的结构。

【右图就是实际的结构】

【Jason发的结构设计图，中间的面顺时针转动被黄色层阻挡】

【事实上阻碍也不是完全的，上图是逆时针jumble的最大角度，顺时针更小一点。于是不能完成任何jumble】

2010年4月，Jason Smith和Adam G.Cowan自己出资量产了直升机魔方，量产品牌为ZTwist（用了Jason的儿子Zane Smith的名字），并在自家网站上销售。而彼时Meffert购买了一批直升机魔方在其官网上销售，却标出了更低的价格，一时间也引起了许多火花。至于大佬们最后是如何妥协的，我们就不得而知了。这也给直升机魔方的传奇增加了一些色彩。后来国内的蓝蓝等厂家也生产过这个魔方。

【内部拆解图，来自lhy1975拆拆系列的图片】

【我在制作Helichop时的一张制作过程图，真正的截面图。】

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我们看到，直升机魔方的切割是相对比较浅的，虽然还可以切的更浅一些。按照一般的想法，似乎下一个出现的魔方应当是切割一点点变深。然而历史的发展并非如此：2008年8月， Matt Shepit在TP论坛公布了菱十二轴转棱立方体的最深切——半切的Little Chop。由于外面能看到的块一共是24块，这个魔方也称为24 cube。这个魔方甚至还有另一个名字——“Rua tekau ma-wha”，是Matt自己取的，是毛利语的“二十四”，为了和他的几个其他魔方保持一致。不过由于另外两个名字过于有名，这个名字又太难记，已经基本已经消失在了历史之中。

【这张不是Matt的原版，原版图片请移步达哥的文章】

Little Chop的历史甚至可能追溯到TP论坛的建立之前：在人们还在用群发邮件交流的时代，这个外形和Dino Cube一模一样，转法完全不同的魔方就被提出来了；在TP论坛上“Little Chop”这个词第一次出现则是在2003年Bram Cohen加入后。然而，很长一段时间中，人们都无法实现这个魔方。

【原版Little Chop的试转视频截图】

正因如此，Matt Shepit的帖子也是一石激起千层浪。一时间，人们的祝贺和赞美之声不断。这个魔方也确实值得赞美：虽然外表上看只有24块，其内部的结构极其复杂，有足足209块！用到的螺丝就有足足44个。这也是运用了3D打印技术制作的最早的复杂魔方之一，很难想象作者到底付出了多大的时间和金钱投入才完成了这一划时代的设计。而作者贩卖的模式在今天看也十分奇特：作者以328美元一份的价格售出了不超过25份，而每份中并不包含魔方的实体，仅仅包含一张储存了3D设计图的光盘和贴纸、螺丝等配件，前几位购买者得到了一个3D打印的轴心。每个购买者也仅被允许制作两个魔方实体，包括Little Chop和它的变形。更加神奇的是，九年过去了，这些购买者中的大多数都从来没有完成过这个魔方的打印……

【原版Little Chop的内部结构】

自然，作为转棱立方体魔方，Little Chop也可以进行jumble转动，但原版Little Chop的jumble会引发一个严重的问题：由于采用了Shell结构（即内部是从直升机魔方出发，一层层搭上来的），在外层的24块都还原的情形下，可能内层的小块仍处于jumble状态，造成外层转动被阻挡。事实上，外层转动被阻挡也不只发生在还原态，在复原过程中也会发生，这就给复原这个魔方造成了极大的困扰。还是Matt Galla指出，这样的外表还原、内部jumble状态本质上只有3种。

【Little Chop的jumble】

这个问题有没有办法解决呢？一种可行但不好的解决方式是，利用磁力把24块吸附在一起，组成一个魔方。Aleh Hladzilin在shell结构的Little Chop面世之前就想到了这个实现方法，也做出实物，取名为“Tanto”（日本短刀，对应“Little”）。不过这样纯靠磁铁，没有结构的魔方一是转动效果不够好，二也不符合设计机械结构的传统，他就没有公布。2009年，David Litwin公开了这个设计的存在。这个设计尝试了两个版本：不锈钢球+磁力块，问题是块上的磁铁会“打架”，导致POP；另一个版本中心用的是一个大磁铁球+金属块，磁力太强，过于危险。

【里面的强力磁铁球，很危险】

2011年初，Vladimir Yaroslavskiy 与Evgeniy Grigoriev也制作过两版依靠磁铁的Little Chop。他们的设计十分有趣：中心用了 “假铁球”——一个乒乓球，然后把几个曲别针剪成小段，捅到乒乓球内部。这样减轻了中心的重量，也保持了较好的效果。此外，这个“假铁球”也被用在同一时段设计的几个其他的纯靠磁力的无结构魔方中。

【第一版的结构】

【内部“假铁球”的制作，来自原作者视频截图】

另一种可行的解决方法是阻止多步jumble的产生。2013年，Jason Smith利用Skirting Rails的结构制作了限制一定jumble能力的Little Chop，理论上可以防止外层还原、内部jumble情形的产生。他前后制作了两个版本。不稳定的第一版边长为67mm，也就是普通六七阶魔方的大小；而改进结构的稳定版本第二版边长为100mm，在魔方中已经算个大家伙了。

【Jason的两版Little Chop，左第二版，右第一版】

【Jason的第二版Little Chop内部结构，很可怕】

还有一个值得一提的3D打印版本：2017年1月，Grégoire Pfennig通过略去一些内部过小的块，制作了一个“仅有”109块、边长30mm，仅重22克的“迷你”Little Chop，打印的价格更是仅为12.5美元。十分惊人。


【与普通大小三阶的对比，来自作者视频截图】

在初版Little Chop公开的整整9年后，2017年8月，铭浩之开始了对Little Chop的第一批量产。量产版本采用了一个很新奇的定位技术：Gravity Pin（重力定位针），有效地简化了结构。量产命名为“铬魔方”，因为元素周期表中铬是24号元素，对应Little Chop的24个块。这次量产也让许多人（包括我）拥有一个Little Chop的梦想得以实现。不过遗憾的是，这个结构并没能完全解决内层jumble的问题。相反的，量产的版本对jumble非常不友好，官方的指南也建议大家不要进行jumble操作。

【铬魔方的TP Museum介绍图，它的资料在吧里很多了】

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在挖掘魔方历史的过程中，我深切地感受到了2007~2010间3D打印技术刚刚普及，经典魔方层出不穷的时代下，魔方玩家们的激动甚至狂热。反观现在，3D打印技术日臻成熟，对魔方设计的探索日趋深入，一些原先难以想象的复杂魔方也开始涌现，但引起的反响似乎没有如此强烈了。

不过未来仍然有许多可以期待的事情：以直升机魔方为代表的jumble魔方是否会加入WCA比赛的速拧项目呢？人们能不能设计出真正完美的Little Chop结构呢？直升机与Little Chop，一个开启了jumble魔方的辉煌时代，一个承载了魔方玩家十数年的梦想。同一轴类的深浅两端，缔造了魔方界两段精彩的传奇故事。

参考资料：
关于直升机：
1. Adam的原版直升机：
http://www.twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?f=9&t=6253
2. Jason的无Jumble版直升机：
https://www.twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?f=15&t=31422
3. 关于量产版直升机的讨论：
https://www.twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?f=15&t=16770
4. Mf8论坛大烟头对直升机的介绍帖：
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=viewthread&tid=3340&extra=&highlight=helicopter&page=2
5. Mf8的直升机拆解：
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=viewthread&tid=74701
6. Matt Galla的直升机变形状态分析：
http://www.twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?f=1&t=28265

关于Little Chop：
1.原版Little Chop：
http://www.twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?f=15&t=10842
2. Aleh的磁力版Little Chop (Tanto)：
http://www.twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?f=15&t=14760
3. Grigr的磁力版Little Chop：
http://www.twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?f=15&t=20164
http://twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?f=4&t=20309
4. Greg的Micro 24-cube：
http://www.twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?f=15&t=31215
5. Jason限制Jumble的第二版Little Chop：
http://www.puzzleforge.com/wp/2013/11/07/little-chop-v2-skirting-rails-mechanism-112013/
6. 铭浩之铬魔方：
http://www.twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?f=4&t=32164
最后厚着脸皮打广告：我的公众号“魔方范畴”~

K_立方体

膜，罗总~硬货啊~结构帝啊~

honglei

好帖，长见识了。

yyglxc

谢谢分享！

James10

厉害，长见识了

折翼蚂蝗

旁征博引，资料详实。图文并茂，引人入胜！罗佬是有真才实学的魔方收藏夹评论家。
可以猜到，罗佬的数学论文肯定同样精彩

管窥子

精彩文章！
不过，对这句话有异议“这个结构并没能完全解决内层jumble的问题”，我认为铭浩之的结构在原理上没有内外不一致的问题，
只是这种结构的稳定性太差，才造成内外脱节。