一般魔方扰动产生的原理及证明和应用
作者：邱志红
前言
大家想必都读过pengw大师的《N阶正方体色子阵魔方状态变换定律:第四版》。是否对扰动有了初步的了解了呢？现在知道为什么三阶魔方的一个面心块不可以原地独立转动90度，但可以原地独立转动180度了吧。也知道为什么用三交换是无法解决四阶魔方两个侧棱对换问题的原因了吧。
但一般的魔方呢？比如五魔方是否也存在类似的扰动？如果存在，那么存在的条件又是什么呢？这就是我在这里要探讨的问题。
我将对他提出的扰动加以深化和推广，让更多人能够理解和接受并运用。
三阶魔方扰动产生的原理
之前介绍一点，魔方最基本的交换是三交换。即三个同簇的块位置三交换。
这里只以四个角块为例讲解三阶魔方的扰动问题，如下图，分别将它们标上1，2，3，4。看看利用三交换会发生什么？
利用三交换能使四个角依次替换吗？答案是不能。看上面右图，发现角块1和4的位置要是对换一下就对了，但实际上不论怎么使用三交换都是不可能换过来的。在试的过程中你可能会遇到1和4位置需要对换，2和1的位置需要对换等等。其实用群论里面对称的观点，这些问题都可以归结到角块1和4的位置对换的问题，只是角块标号不同而已。为了以后描述的方便，也为了节约空间。其实可以用一串数的形式来描述该问题。
角块1，2，3，4的这种原始状态就可以记为1234。注意它的首尾是连接起来的构成一个环。然后这四个元素的任意三个可以进行正或逆时针的三交换。看看1，2，3进行顺时针三交换就是2314，也就是上面右图反映的情况。
这样扰动的问题就成了一个纯数字游戏了，三阶魔方是否存在扰动就看四个数里任意三个数字依次替换能否从1234转化到2341。结果是不能。你可能要说1，2，3进行依次替换不行，那么试试别的或许就行了。那就试试1，2，4的依次替换吧。结果是：1234—→2431。要是3和4换一下就好了。但实际就不可能，上面已经提到对称性了，所以只要验证一种情况就可以了。假如最后得到的是相邻的两个需要对换，那就是存在扰动，很明显三阶魔方就存在扰动。
同样的道理对棱块也一样存在扰动。只要是四个进行三交换就存在扰动。
这就是三阶魔方扰动产生的原理。
扰动理论的推广及证明
看看五魔方吧，它的一个层有五个角块和五个棱块。现在只讨论角块，棱块道理是一样的。
用上面的方法就可以将五个角块的初始状态记为12345。现在就来看看用三交换能否将它转化为23451。
过程：12345→23145→23451。
先1，2，3位置依次替换，后1，4，5位置依次替换。结果竟然成功了从12345—→23451了。这说明五魔方就不存在扰动了，只用三交换就可以可以解决它。
推广：一般魔方的一个层顶面的边数假设为t，那么就存在t个位置可以依次替换的小块，而且至少是一组，可能是多组。
当t=2n时，魔方存在扰动。n≥2，且n∈Z。
当t=2n+1时，魔方不存在扰动。n≥1，且n∈Z。
下面就来证明该命题了，还是采用一串数来记录小块的状态。我采用的是数学归纳法来证明的。
①．当t=2n时，魔方某一层的一簇位置可以替换的小块的初始状态就是1 2 3……2n-1 2n.
⑴初值，当n =2时，t=4。只能1234—→2314，是存在扰动的。
㈡假设，假设n=k时成立，那么只能1 2 3……2k-1 2k —→ 2 3 4……2k-1 1 2k。是存在扰动的。
㈢当n=k+1时，利用上面假设的结果1 2 3……2k-1 2k —→ 2 3 4……2k-1 1 2k。
那么1 2 3……2k-1 2k 2k+1 2k+2 —→ 2 3 4……2k-1 1 2k 2k+1 2k+2—→2 3 4……2k-1 2k 2k+1 1 2(k+1)。
发现n=k+1时，结论也成立，存在扰动。
②．当t=2n+1时，魔方某一层的一簇位置可以替换的小块的初始状态就是1 2 3……2n 2n+1.
⑴初值，当n =1时，t=3。只能123—→231，是不存在扰动的。
㈡假设，假设n=k时成立，那么只能1 2 3……2k 2k+1 —→ 2 3 4……2k 2k+1 1。是不存在扰动的。
㈢当n=k+1时，利用上面假设的结果1 2 3……2k 2k+1 —→ 2 3 4……2k 2k+1 1。
那么1 2 3……2k-1 2k+1 2k+2 2k+3 —→ 2 3 4……2k 2k+1 1 2k+2 2k+3—→2 3 4……2k 2k+1 2(k+1) 2(k+1)+1 1。
发现n=k+1时，结论也成立，不存在扰动。1 2 3……2k 2k+1 —→ 2 3 4……2k 2k+1 1
证明完毕。
注意：在该串数中任意插入几项，不会影响以前的变换。但会影响整串数的外在形式和整体性质。原因很简单，因为三交换是这串数中任意三个交换，某些数完全可以不参与交换，增加的那些项就相当于不参与变换的项。所以我在变换1 2 3……2k 2k+1 —→ 2 3 4……2k 2k+1 1两边的最后都插入2k+2和2k+3，是不会影响之前的变换的。而插入奇数个项虽然不影响之前的变换但很显然改变了该串数的整体性质了。由扰动变为无扰动，或者相反。
另外上面两种情况证明的最后一个变换都是最后三项三交换。形式也略有改动。
扰动理论的通俗证明
上面是从理论的角度来分析和证明的。其实还有一个简单的方法可以证明该问题，就是递推的方法。
当t=2n时，该串数为1 2 3 4 5 6 7 ……2n-1 2n。
首先123进行替换得1 2 3 4 5 6 7 ……2n-1 2n—→2 3 1 4 5 6 7……2n-1 2n。
然后145进行替换得2 3 1 4 5 6 7……2n-1 2n—→2 3 4 5 1 6 7……2n-1 2n。
再是167进行替换得2 3 4 5 1 6 7……2n-1 2n—→2 3 4 5 6 7 1……2n-1 2n。
………………………
发现就是“1”在移动，每次向后移动两位，同时把被跨过的的两项各向前挤一位。而且每次都落在奇数的后面，由此递推得它最后一次会落在2n-1后面。
那么整个变换过程就为1 2 3 4 5 6 7 ……2n-1 2n—→2 3 4 5 6 7……2n-1 1 2n。老问题，1和2n的位置换不过来，就存在扰动了需要额外转动一个单位来解决。
而当t=2n+1时，情况也是一样的。“1”还是落在奇数后面，最后一次就落在2n+1的后面了。
整个变换过程就为1 2 3 4 5 6 7 ……2n 2n+1—→2 3 4 5 6 7……2n 2n+1 1。再一看发现这2n+1个数轮换了。能轮换一次就可以轮换第二次，第三次……，同样也能反着轮换。这样就不存在扰动了，用三交换就可以解决了。
说白了，扰动就是一场数字游戏，并不是很深奥的东西。
扰动理论的具体应用
现在来看看扰动理论的应用。推论1：五魔方的面块可以原地独立转动一个单位（72度）。
实现的方法很容易，先将五魔方的一个层转动一个单位，然后依照证明里面的方法运用三交换对角块和棱块各进行轮换一次使角块和棱块又复原就可以。
但同样的事情在每个层都为四边的奇数阶立方体魔方里面就做不到。因为将表层转动一个单位以后，无法通过三交换对角块和棱块各进行轮换一次使角块和棱块又复原。但面心块转动两个单位(180度)还是可以的。也是可以用上面证明过程中的方法可以证明的：
1 2 3 4 5 6 7 ……2n-1 2n—→2 3 4 5 6 7……2n-1 1 2n—→3 4 5 6 7……2n-1 1 2 2n —→3 4 5 6 7……2n-1 2n 1 2。
就是把“2”再按上面的方法做一次。 最后把1，2，2n做一次三交换就可以了，得到的就是最右边的结果。令n=2。就是1234—→3412。也就是立方体魔方的情况。
在一般的魔方里面如果再说独立转动90度就不准确了，说独立转动一个单位更加合适。
再看看下面的魔方Shaped Cube：
它是最能反映该问题的魔方了。其中顶（底）面边数为奇数的都不存在扰动，而边数为偶数的都存在扰动。所以在玩这种魔方的时候注意消除扰动哦。
也和三阶魔方一样，偶数边的魔方面心块虽然不能独立转动一个单位，但都可以转动两个单位。
而且注意，扰动不但对表面的层有作用，同时对中间层也同样起作用。四阶魔方两棱对换问题就是明证。
又来了一个问题。既然扰动对中间层也起作用，那为什么三阶的中间层转动90度又可以复原呢？这个问题很简单，三阶魔方中间层转动90度等价于夹该中间层的两个表层各转动一个单位(90度)。实际上是进行了两次轮换，上面证明了这是可以复原的，是无扰动的。但四阶魔方就不行了。它的一个中间层的转动总是等价于三个层各自的轮换，进行了奇数次轮换，是会产生扰动的。
凡此等等，就不多讲了。
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发表于 2005-11-10 08:52:56
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