调和级数一定不是整数

yang_bigarm

第一次听到这个问题是在我一个同学参加研究生免试保送的时候。他的导师是一个刚从美国回来的的
一个很年轻的教授，他导师说我不看你的考试成绩，因为既然是系里面推荐，成绩单自然不会差啦。
我就出一个问题，不需要你当场就回答，给你一天的时间，你自己回去思考或者到图书馆查书，反正
明天的这个时候我在同样的地方等你，告诉我你的答案。
很有点那种武侠小说上某个人去学武艺，师傅考验他的那种感觉啊！到了最后，虽然他没有给出答案但是
迫于学校的某些规定，那个老师还是要了他了。

---------------------------------probelm----------------------------------------
调和级数定义如下
                1    1    1    1           1
s(n) = 1 + -  + -  + - + - + .... + -
                2    3    4    5           n
如果 n>1 的时候，证明它一定不可能是一个整数。
----------------------------------end-------------------------------------------

我们知道调和级数的增长速度是和对数函数差不多的，那么就是说他会增长到无穷大，但是
增长的又十分缓慢，难道他真的不会等于任何一个整数吗？

鞍山老于

一起等答案,边顶边学!

Cielo

楼主的题果然有难度啊！先想想！

乌木

1楼说了在n趋于无穷大时s(n)趋于无穷大，也就是说s(n)不存在（意思指不是一个确定的数），也就谈不上它是整数不整数的了。问题是，n为n>1的有限的值时，此时的s(n)是该级数的部分和，题目应该是问这样的部分和为什么不是整数，对吗？
我这样认识对吗？对后一问题，我不会回答。

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笨办法想想，对于1/2，它等待另一个1/2来“补整”；对于1/3，等待1/（3/2）来“补整”；对于1/4，等待着1/（4/3）；…………1/n等待着1/（n / (n-1)）。显然，都是等不来的，故部分和s(n)不会是整数。
可以这样论证吗？

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-3-30 23:56 编辑 ]

lulijie

有个想法：
给每个分子通分，通分后的分母为n！
那么第i个分数的分子就是  n!/i，
所有分子相加  得到数S
那么所求的调和级数=S/n！
若能证明  S中含的2的因子比n!中的2的因子少，就能证明二者不能整除，也就是说所求的调和级数不可能是整数。

lulijie

S中的2的因子比n!中的2的因子少，那么    a（n）=S/n!   就可写成  分子是奇数，分母是偶数。
a(2)=3/2，显然成立。
假设  a（n）能写成  分子是奇数，分母是偶数。
若能通过数学归纳法证明 a（n+1）也能写成分子是奇数，分母是偶数。
那么命题就得证。

lulijie

假设a(n)=p/(q*2^k)     p、q都是奇数，  
那么1.    如果  n+1是奇数 =r，
    那么 a(n+1)==p/(q*2^k)+1/r  =( p*r+q*2^k)/( q*r * 2^k )   照样是   p/(q*2^k)  的形式，也就是说  
   若a(n)的分母的2的因子个数比分子的2的因子个数多k个，那么，加上  奇数的倒数后还是一样。
      2.    如果  n+1是偶数 表示成 r*2^m。
         那么 a(n+1)=p/(q*2^k)+1/（r*2^m)  
      只要k不等于m，那么  a(n+1)最后可表示成    p/(q*2^L)         L等于k和m中大的数，p和q都是奇数。
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a(2)=3/2  ,表示成p/(q*2^k)  的形式，k=1                                    只有k=0，a(n)才有可能是整数。
a(3)  =a(2)+1/3   ，由于3是奇数，所有  a(3)的k不变，同a(2)。
n=4 时，  a(3) 的k=1，4的k=2，所以   a(4)的k等于2。
在k等于3的n=8出来之前，即n=5、6、7的k都比 a(4)的k小，所以 a(5)、a(6）、a(7)的k都是2，
a(8) =a(7)+1/8  属于k =2  加 k=3 ，所以  a(8) 的k 等于  3，
同样   在n=16 的k=4 出来之前，    n=9、10、11、12、13、14、15  的k都比3小， 所以不影响a(n) 的k  ，都是3
然后 a(16) 的k=4
。。。。。。。。
这样一直进行下去，无论n多大，最后  a(n)   都可表示成   p/(q*2^k)  的形式，其中 p、q是奇数。
                      k值满足      2^k<=n<2^(k+1)
  所以k永远大于0，且随着n的增加，而增加或保存不变。
所以a(n)永远不可能是整数。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-3-31 01:00 编辑 ]

lulijie

楼主的题目都很有难度，做楼主的题头发都要掉很多，脑细胞都要死好多。你的题都是哪里出来的？

lulijie

上述是我的思路：
我再总结一下，应该可以用数学归纳法证明楼主的论断。
证明：a(n)  都可表示成   p/(q*2^k)  的形式。   其中 p、q是奇数，k值满足  2^k<=n<2^(k+1)。
1.     n=2时，a(2)=3/2  ，k=1，  显然成立。
2.    假设   a(n)  可表示成   p/(q*2^k)  的形式。其中 p、q是奇数，k值满足  2^k<=n<2^(k+1)。
    那么  a(n+1) 也可表示成  p/(q*2^k)  的形式。其中 p、q是奇数，k值满足  2^k<=n+1<2^(k+1)。
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[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-3-31 01:19 编辑 ]

R'cube

记得好像以前学过，当n值很大的时候有这么个近似求和公式S(n)≈ln(n)+c
c是欧拉常数，好像是0.577什么的。。。
LZ貌似是数学系的，题目都很有难度啊~~~