很难的简单题

wangbovbvb

我是湖北恩施的七年级学奥数的学生，现出一题，难度很低，但要给出过程，题目如下：
有11个灯管（其中有一个坏的）(我按前都是关的），11个开关（其中有一个坏的）（每个开关控制一个灯管），我随意开（或关）奇数次开关后，则有奇数个灯管亮的几率是多少?

Osullivan

我来看看~~~~~~~~~~~

看奇数次，有奇数个灯管亮，说明没有开到坏开关或者好开关控制的坏灯,或者两种情况同时出现~~~~~~~~~~


情况一：坏开关控制坏灯
则必须按坏开关次数为偶数

情况二：坏开关控制好灯，坏灯对应好开关
a按坏开关次数，b按坏灯对应的好开关次数
  
则a+b为偶数

如果随意开关次数n次后，求奇数个灯管亮概率。这这。。。数学解法还相当麻烦吧，还要对n进行讨论。那就只有用电脑编程来解答了~~~~~~~

[ 本帖最后由 Osullivan 于 2009-7-12 14:50 编辑 ]

wangbovbvb

哦，忘打了，是开关21内的奇数次开关（包括21）

wangbovbvb

我再降低难度（为快速获得答案），改为是9内的奇数次开关（包括9）

Osullivan

情况一：坏开关控制坏灯
1次   10/11
3次    （10/11）^3+(10/11)*(1/11)^2
5次    （10/11）^5+（10/11）^3*(1/11)^2+(10/11)*(1/11)^4
……
情况二：坏开关控制好灯，坏灯对应好开关
还难写啊，不写了，思路蛮简单~~~~~~~~
写起来复杂~~~~~~~

三少爷

大哥…现在国家电能这么紧张…咱能不随便开关灯管吗？还有…开关坏了赶紧报修啊…这是隐患啊…

鞍山徐乾皓

能讲清楚一些吗?我没明白......


                                                         

lulijie

情况一：坏开关控制坏灯   ，概率1/11
   相当于11个开关里， 坏开关1个（可设灯全是好的，不用去管它）

情况二：坏开关控制好灯，坏灯被好开关控制，概率10/11
   相当于11个开关里， 坏开关2个（可设灯全是好的，不用去管它）

类似于5#的计算方法：
情况一：2k-1次开关，奇数盏灯亮的概率＝ 10 / 9 * (100 / 121) ^ k - 10 / 9 * (1 / 121) ^ k
   2k-1次以内所有奇数次开关，奇数盏灯亮的概率 (就是对2k-1以内所有的奇数算出的概率进行平均）
                     P1=1/k*(∑(  10 / 9 * (100 / 121) ^ k - 10 / 9 * (1 / 121) ^ k)
                         =1/k *( 1331 / 252 - 1000 / 189 * (100 / 121) ^ k + 1 / 108 * (1 / 121) ^ k)
情况二一：2k-1次开关，奇数盏灯亮的概率＝9 / 7 * (81 / 121) ^ k - 9 / 7 * (4 / 121) ^ k
   2k-1次以内所有奇数次开关，奇数盏灯亮的概率(就是对2k-1以内所有的奇数算出的概率进行平均）
                    P2=1/k*(∑(  9 / 7 * (81 / 121) ^ k - 9 / 7 * (4 / 121) ^ k)
                       =1/k *( 1331 / 520 - 729 / 280 * (81 / 121) ^ k + 4 / 91 * (4 / 121) ^ k)
若情况一、二都是未知，那么概率=  1/11*P1+10/11*P2
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若21以内的奇数次。那么k=11,代入上述公式，得概率=0.247214493909782
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若题目是任意奇数，不限范围，具体数值也是未知，那么对于自然数内所有的奇数进行平均后，概率接近于0。