具有正交对角线的四边形

yang_bigarm

如图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相互垂直（正交），E，F，G，H分别是垂足O关于四条边BA， AD， DC， CB
的对称点（镜像点）。

证明：E，F，G，H恰好在一个圆上。

时空

楼上，警告你一次

Atato

厉害...一直没想过有这样的性质.
待我想想..

superacid

原帖由 日寸穴工 于 2009-8-12 00:17 发表
楼上，警告你一次

同意


这题貌似用复数比较方便。

[ 本帖最后由 superacid 于 2009-8-12 07:56 编辑 ]

ggglgq

　　
　　
  
　　
  
        这道题比较简单，设 E'、F'、G'、H' 分别为  OE、OF、OG、OH 中点（交点），
  
很容易证得：  E'、F'、G'、H' 恰好在一个圆上。 即原命题得证！
  
  
　　
　　
　　
　　

superacid

原帖由 ggglgq 于 2009-8-12 12:12 发表
　　
　　
  
　　
  
        这道题比较简单，设 E'、F'、G'、H' 分别为  OE、OF、OG、OH 中点（交点），
  
...

牛顿定理

yang_bigarm

可否写出完整的证明呢？

ggglgq

　　
　　
　　
　　　
　　
  
    由已知直得： A、E'、O、F' 四点共圆， B、E'、O、H' 四点共圆，
  
C、G'、O、H' 四点共圆， D、G'、O、F' 四点共圆， 从而得到
  
    ∠1 = ∠2 ，  ∠3 = ∠4 ，
  
    由于  ∠2 、∠4 互余 ，
  
    故 ∠1 + ∠3 = RT∠ ；
  
    同理 ∠5 + ∠6 = RT∠ ；
  
    因此  ∠E'F'G' 、∠E'H'G' 互补。
  
    从而 得到 E'、F'、G'、H' 恰好在一个圆上。 即原命题得证！
  
　　
　　
　　
　　

ggglgq

　　
　　
  
    这可能是用初中几何题改编的，的确不难。
  
    没时间上论坛，今天早上才发现 superacid 荣登版主了，在这儿祝贺一下！
　　　　
  
  
    因本人工作繁忙，希望 superacid 上任后帮忙料理 《数学、算术趣题汇总帖》
  
    http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=29326
  
谢谢！
  
　　
　　
　　　
　　

Cielo

有了好的想法，果然就简单了啊！