为什么会引入24同态这一概念？

pengw

在N阶定律中就存在24同态这一概念，很多关于状态计算方面的讨论也引入了24同态，问题是为何要引入24同态？

noski

我想这里所说的引入24同态就是为了给魔方找一个坐标系。
正六面体N阶魔方在坐标系中有24种摆放位置。对于奇阶魔方来说，它们的中轴就是一个天然的坐标系，故可以很方便的计算并消去同态。而对于无中轴的偶阶魔方或者空心魔方来说，就没有这样的一个参照，所以计算结果会包含各种不同摆放方式的同态，这些就是24同态了。

这么一来，似乎又回到了这样的定义问题：什么是魔方的一个状态？魔方的整体滚转会改变状态吗？

乌木

对于奇阶魔方，一开始就约定参照物中心块组不动，然后考查别的块的、转得出的位置情况和色向情况。既然固定了中心块组，魔方就没有了整体运动，连影响中心块组方位的中层转也要用有关的表层转和别的内层转来取代。
（如果放开限制，中心块只要保持相对位置关系不变，允许其整体运动－－但只能相对于别的块累计转过偶数次90度，总的结果应该也会有24同态情况的。需要时，无非除以24消消同态即可。）
偶阶魔方、空心魔方一开始其实是用魔方的周围环境为参照的，获得所有情况后，改用（比如）一个角块为参照物，就看出24同态问题了。
如果一开始就用（比如）一个角块为参照物，统计转得出态数的时候，同样不会有24同态问题，因为那个参照物角块在魔方中的位置及其色向被固定了，魔方就没有真正的整体运动了。结果应该和上面消了同态后的结果一样。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-8-23 23:35 编辑 ]

pengw

NOSKI回答得很本质，事实上，24同态是因为我们描述块变换的方法及相关的计算状态数的方法而被迫引入的，N阶定律并不是用层转动来描述变换，而是用“块移动”，因此基于N阶定律的状态数算法也是基于块移动而非层转动来计算状态数，为了描述块移动，必须选择一个参照方位，由此产生24状态问题。

只要存在层转动与整体转动等效，就一定存在24同态。而三阶或奇阶不存在24同态，是因为中心块不存在置换这一说法，虽然有人故意去转动三阶中层，而事实上中块簇并没有发生置换，所以三阶不存在层转动与整体转动等效这说法。而很多人被相对运动所迷惑惑。

pengw

由于基于“块移动”计算状态数的方法存在24同态问题，那么，有谁能设计出一个本质上不用消24同态的计算方法？

黑白子

pengw 发表于 2009-8-24 07:23
由于基于“块移动”计算状态数的方法存在24同态问题，那么，有谁能设计出一个本质上不用消24同态的计算方法 ...

目前，没人能做到。只有2阶魔方用计算机穷举的办法找到了各种步数对应的状态数，但这不是计算出来的。高于2阶的魔方目前没有办法，除非有新的魔方理论诞生，并且这个理论能计算出各种步数对应的状态数。话又说回来，这样的理论要是真的出现了，魔方最少步问题也就解决了，魔方的秘密就真的没有了。