[请教]四阶棱块翻色的理论问题

乌木

<P>有个问题一直糊涂着，请教各位。<BR></P>
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<P>三阶中一个棱块可以转到任一棱位；即使单单两棱互换也可以－－但同时有两角互换即可。此外，一个棱块可以就地翻</P>
<P>色－－只要别的1个（3个、5个、7个、9个或11个）棱配合着也翻色以保持棱块的色向和为零即可。<BR></P>
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<P>在四阶中，一个棱块也可以转到任一棱位，只不过转到有的棱位时必须翻色；但不能就地翻色－－除非它换一个棱位，</P>
<P>比如换到它紧邻的一个棱位，可是这已经不属于“就地”翻色了。<BR></P>
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<P>三阶棱和四阶棱的上述现象已经从内部结构上解释了。所以，三阶时，可以故意就地错装一个棱的色向；而四阶时，连这一点也做不到，除非故意错贴一个棱块的两个色片。<BR></P>
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<P>那么，理论（或者说有的理论）上是如何排除四阶棱就地翻色的？因为，好像有的理论是把各块看作一个个单元立方体</P>
<P>，然后排列、组合，再排除不可能状态。这种思路好像没考虑四阶棱块的内部结构吧？在开始排列时总会出现棱块就地</P>
<P>翻色态的吧？怎么排除它（们）呢？</P>
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<P>是不是别的某种理论体系并不存在这个四阶棱块就地翻色问题？（也就谈不上排除了。）<BR></P>

[ 本帖最后由 乌木 于 2007-11-29 19:18 编辑 ]

pengw

问题入木三分，先不要急于求答案，大家各舒已见，提醒一点：试试将一个边棱块，换一个色向上到同一位，而不管其它块的变换。

乌木

补充：我这问题的由来是，一般，并不知道四阶棱块的内部结构，在用排列、组合方法探讨四阶状态时，就很容易据三阶棱的表现，误认为四阶棱也可以就地翻色。这样想也是正常的，不会想到要排除这类状态的。所以，我出于好奇心，就要问，如果用排列、组合法探讨四阶状态，而且如果并不知道四阶棱的内部结构，计算四阶状态总数之类的结果会正确吗？如果计算正确，那么，怎么会想到要排除这就地翻色态的？还是另有别的什么与棱块内部结构无关的某种计算思路（即谈不上要排除什么什么的）？

pengw

这就是为什么要用邱志红提出的色子阵模型的原因，称为无色向是错误的，只能说这些块在特定位置只有一个色向，如何证明？应该不困难。

乌木

那么，对三阶来说，在一个棱位上，不考虑棱块色向的话，不是状态数要少计了吗？如果三阶是计色向的，四阶不计，那么，大概已经知道四阶棱块不能就地翻色，对吗？

pengw

不是不记色向，而是四阶或四阶以上的无色向块在任何一个可到达的位置，只能保持一种色向，所以没有计算的必要，而三阶所有的块在一个特定位置都不止一种色向。

乌木

“四阶或四阶以上的无色向块在任何一个可到达的位置，只能保持一种色向”，这很重要，我原来不知道这一点，所以会产生本帖的问题了，对吗？
这性质不一定由内部结构决定，哪怕那种真正“色子形状”的、靠磁力吸引的四阶结构，只要是用一层层转动方式改变魔方状态的话，也是具有你说的这种性质，对吗？

pengw

<P>很对！“四阶或四阶以上的无色向块在任何一个可到达的位置，只能保持一种色向”，但缺少一种统一的证明，虽然任选一个偿试都可以证明。我倒是有一个理论，可以解决这个问题，但是不知如何证明这个理论：</P>
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<P>1。6个心块，每块四个状态：4*6=24<BR>2。8个角块，每块三个状态：3*8=24<BR>3。12个中棱块，第块二个状态：2*12=24</P>
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<P>上面是三阶的块，不属于三阶的块每簇都有24个块，为了保持24守恒，这些块只能有一个色向</P>
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<P>晃眼一看，有点像大烟头的24定理，但大烟头说的24不是这种意思，看来24在魔方是一个魔数。</P>
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[ 本帖最后由 pengw 于 2007-11-30 18:18 编辑 ]

乌木

<P>同理，Puzzler中虚拟四阶（谈不上内部结构了）也不必担心它的棱块会就地翻色的。对吧？</P>
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<P>&nbsp;此外，好像一个四阶棱虽然可以到任一棱位，但它在一半的棱位上若取向算正向的话，在另一半棱位上，只能取反向。是不是？这就是“保持一种色向”的详细含义吧？</P>

pengw

很对。我认为，如果只有一种色向，可不必关心色向问题，因为，它只要在那里，就只能是那个样子。