尺规作图问题

chuchudengren

寒假背GRE之余，也粗读了一本几何作图的书，有些作图题颇具玩味
1，做一圆与三已知圆相切
    当然直线可以看做无限大的圆，而点又可以看做无限小的圆，于是可以引申出一系列的问题来
2，于三角形内做三个圆，使之两两相切而且每一个圆都与三角形的两条边相切
3，做已知三角形的内接三角形使之三边各通过三个已知点
4，做已知圆的内接三角形使之三边各通过三个已知点

superacid

好题，顶了

tm__xk

我把<近代欧几>第一题的解法打上来..

原题:
(一).求作一圆与三个已知圆相切(切法已给定).

可以将四个圆的半径同时改变相同量,故不妨令其中一个圆为点圆.
故只需:
(二).求作一圆与两个已知圆相切,且过一个已知点.

事实上,与两已知圆相切的圆,两切点恒过定点(两已知圆的一位似中心).
事实上,两圆互反,反演幂已知.
故可作已知点的反点.所求圆过此点.
故只需:
(三).求作一圆与一个已知圆相切,且过两个已知点.

对于(三),过两已知点A,A'任作一圆与已知圆交于P,Q两点,则PQ和AA'交点在根轴上.
过其作已知圆切线,则所求圆过此切点.
于是,只需:
(四).求作一圆过三个已知点.

显然.

[ 本帖最后由 tm__xk 于 2010-3-3 03:36 编辑 ]

tm__xk

第一题,书里的另一格简洁点的:

做三个已知圆的六个位似中心.每三个共线,共四条直线.
作其中任一条关于三个已知圆的极点.
连结这些极点与三个已知圆的根心.
若这些直线与相应的圆相交,这三对交点就是两个所求圆的交点.

chuchudengren

很欣赏第一种解法，好理解，我看到的解法也是用反演的方法，不过是将圆扩大以至于其中两个相切，这样通过切点做反演的话，就会变成切与两平行线与一圆，此题显然易解。
第二种方法画出与三个均内切和均外切的两个圆后就好理解了，挺有意思。

tm__xk

第二题,参考http://tieba.baidu.com/club/9314369/p/1008853.
在此帖中,有theta_1=(phi_2+phi_3-phi_1)/2.
所有长度都是构造得出的....

这解法,曾令我相当的无语....

tm__xk

所有符号以上图为准,并记p为半周长,S为三角形面积.

圆O1和O2相切==>x1+x2+MN=a3,其中MN=2sqrt(r1*r2)
==>x1+x2+2sqrt(r1*r2)=a3

r/r1=(p-a1)/x1
r/r2=(p-a2)/x2
==>r1*r2=r^2*x1*x2/(p-a1)/(p-a2)
==>x1+x2+2r*sqrt(x1*x2/(p-a1)/(p-a2))=a3

r*p=S=sqrt(p(p-a1)(p-a2)(p-a3))
==>
r/sqrt((p-a1)(p-a2))=sqrt((p-a3)/p)
==>
x1+x2+2sqrt(x1*x2*(p-a3)/p)=a3
即 x1/p+x2/p+2sqrt((x1/p)*(x2/p)*(1-a3/p))=a3/p

设xi/p=(sinθi)^2,ai/p=(sinφi)^2........(别问why....)
于是,(sinθ1)^2+(sinθ2)^2+2sinθ1*sinθ2*cosφ3=(sinφ3)^2
==>(sinθ1+sinθ2*cosφ3)^2+(sinθ2*sinφ3)^2=(sinφ3)^2
==>(sinθ1+sinθ2*cosφ3)^2=(cosθ2*sinφ3)^2
==>sinθ1+sinθ2*cosφ3=cosθ2*sinφ3
==>sinθ1=cosθ2*sinφ3-sinθ2*cosφ3=sin(φ3-θ2)
==>θ1=φ3-θ2

==>
θ2+θ1=φ3
θ3+θ2=φ1
θ1+θ3=φ2

把传送门那边的东东贴过来....

chuchudengren

说一下我见到的解答，相对几何一点，使用了不少几何知识
如图，设L,M,N为三圆互切之各点，有各圆切与三角形ABC之两边，自切点L M N做此各圆之公切线DE,FG,HI
而此公切线为三圆两两圆周之根轴，故为共线点
驾龄其交点为K,因FH-HD=FO-DP=FM-DL=FK-DK
故H为三角形FKD之内切圆在FD之切点，同理E,G为两组直线IK,KF,AC及IK,DK,AB切圆之切点，又
HN=HP=QL, NS=ER=EL所以HS=EQ
所以ES,HQ圆上切与E,H之直线在两圆之相似圆相交，故两圆在点C各对相等之角
又圆HQ  ,ES  ,PNR之公切线如QL  ,SN  ,KF等为共点线，所以C为同圆所引它三公切线之交点，故圆HQ  ,ES之第二条公切线必过C，而C为相似圆上的一点，所以此内公切线为角C之平分线
从而得作图法：
命V为三角形三平分线之交点，在三角形VAB  ,VBC  ,VCA内做内切圆，VB ,VC VA为此各圆两两之公切线，又可得此各圆两两之它三公切线，此各线各为ED ,GF, HI，从而即可作出三个圆来

[ 本帖最后由 chuchudengren 于 2010-3-3 13:31 编辑 ]

tm__xk

我直接把另一题的过程拿来用..麻烦点也是应该的..哈哈..