群论或Gap如何预言状态构造法则？

pengw

对三阶或者说对N阶而言，只要明确以下问题，也就概括所有状态的非转层构造法则，进而可以依据这些法则计算三阶或其它阶的公式循环周期及最大公式循环周期，此外，我们不可能一个状态一个状态地列举，因此状态构造法则是必要的。

1。中心块簇的块任意转动
2。所有置换簇簇内自由置换
3。棱角簇任意二个块可以独立进行色向变换，色向和为零
4。确定簇状态搭配关系（扰动关系）

问题是GAP虽然计算出状态总数，但GAP或群论如何用简洁的方式给出状态构造法则？仅仅知道状态数对玩魔方的人来说，是远远不够的

[ 本帖最后由 pengw 于 2010-4-26 08:30 编辑 ]

铯_猪哥恐鸣

个人认为像GAP这种通用的软件，估计不大可能很简洁的表示魔方状态数背后的“本质”。不过换句话说，有的很显然的结论诸如“棱块和角块不能互换位置”其实也是魔友在玩的时候发现的，这也是为什么广告中的魔方经常出现这一低级错误。
另外如果我没理解错的话，现在所谓“簇”的概念在群论里好像叫“块”，由于每个生成元都是块内置换，所以最终得到的状态也只能是块内置换。于是才有魔方的分“簇”。

pengw

小片置换并不违背群的定义，且用群的方法更好处理，但处理结果会读爆头的，况且片和块是可以等价转换的， 除了棱角块外，其它片的描述跟簇等价，簇在群论中称着轨道。

从变换规则的角度，如果用片来描述，不是不行，而是跟现在大家熟悉的方式会很不相同，不知是繁还是简，谁愿意去试试？

[ 本帖最后由 pengw 于 2010-4-26 09:14 编辑 ]

pengw

即使是限转动产生的状态也有构造规则，怎样抓出抓全这些规则？还是像新手那样慢慢去试？大家可以偿试一下。

铯_猪哥恐鸣

其实也难说简还是烦。打个比方，在解决很多调度问题的时候常常考虑用最大流问题，会经常做诸如拆点的做法，原来问题的规模反而被增大了。就是为了将问题转换为已解决的抽象模型来解决，将原问题更复杂化，数学建模也差不多在做这件事情。从解决问题的角度是可取的，毕竟如果对于魔方本身再发现一套理论无非也只是群论的推论。不过从理解魔方本质的角度，如果太抽象了感觉就失去了魔方的“感觉”了。

铯_猪哥恐鸣

所谓的构造规则，我认为其实就是“不变量”的概念。比如整个魔方的逆序数恒为偶数，角块方向和为0等等。在限制转动的条件下会有更多的不变量。而GAP，也许就是从这方面考虑的。当然这块我还是在行，不是很了解算法。

pengw

有道理，我们理解的本质或构造规则可以说是有限置换群部分理论的另一种等价描述，这个“本质”常常在没有群论意识的环境中，被独立总结归纳出来，最后二者相互映证，而后者显得更容易理解、更实用。这给大家一个启示，不懂群论也可以掌握魔方全部变换规则，这一点相当鼓舞新手。

pengw

逆序数并没有置换表达来得直观，大家只须要确定偶元环的个数就就定了簇的奇偶，二者等价，但是，遂个去流理块的逆序数实在是有点不好玩，除了计算机觉得好玩，当然计算机生来就擅长做这类不好玩的事情。

[ 本帖最后由 pengw 于 2010-4-26 09:50 编辑 ]

pengw

总之，玩魔方不懂群论，无大碍，这一点是明确的。我看过一些拿群论说魔方书，其对魔方变换的表达，根本没有达到指导玩魔方的水准，通常就是指导一个三阶纯色复原就结束了。其中一本书，一半在漫无边际地东拉西扯，一半是在谈三阶绝色复原，不要说总结到N阶，就连三阶也没有总结完成，仅此而已。但是，对一个老手，这点点东西是远远不够的。

[ 本帖最后由 pengw 于 2010-4-26 10:04 编辑 ]

Cielo

在另一个帖子里，sokoban 版主说过“簇”在群论里是“轨道”。

同意他的说法