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证明直角三角形面积为正整数的充要条件 [复制链接]

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电梯直达

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发表于 2011-3-4 18:19:16 |只看该作者 |倒序浏览

求证：边长为有理数而面积为d的直角三角形的充要条件是
方程y^2=x^3-(d^2)x 对x和y，有y不为0的有理数解。这里d为正整数。

这是某本名叫《千年难题》的书里提到的，但未给出证明过程。

有高手能证明此结论吗？

狼情野性

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发表于 2011-3-4 18:29:46 |只看该作者

额。。。这个条件好纠结。。。
貌似没说清楚。。。

[ 本帖最后由 oyyq99999 于 2011-3-4 18:33 编辑 ]

一剑凌云山海情
弃剑封刀，大隐归闹市，自觉逍遥。
我的成绩

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发表于 2011-3-4 18:58:58 |只看该作者

原帖由 oyyq99999 于 2011-3-4 18:29 发表
额。。。这个条件好纠结。。。
貌似没说清楚。。。

书上就给出这些条件

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发表于 2011-3-9 13:47:01 |只看该作者

首先呢。。。要知道三边长为正整数a,b,c的直角三角形，也就是a^2+b^2=c^2，必然满足：
存在互质的正整数m,n和正整数k，满足
a=k(m^2-n^2), b=2kmn, c=k(m^2+n^2)

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