N阶纯色正六面体魔方状态数公式。。求验证。。

lzqqqqqq

声明一下：
由于我最近参加某比赛所提交的相关论文与本贴内容有关，此贴内容暂时由本人删除。论文成绩出来后会再发回来。
号为0573的人就是我（还有一个合作者的号是0574）。

[ 本帖最后由 lzqqqqqq 于 2011-3-21 21:51 编辑 ]

乌木

应该如何验证，我不知道，只好计算一下看答数如何。刚才只算了2～5阶的，结果和http://bbs.mf8-china.com/forum.p ... &extra=page%3D1 的一致。
要对两帖都对；要错两帖都错，我是不会判断。
此外，最好解释解释式子的含义。对于这种通式，我解释不好，且试试解释解释四阶和五阶，也只能就式子解释，它多算了或少算了什么的话，我是看不出了。

n＝4时，算式为 8！×3⁷×(24!)² / 24 / (4!)⁶

8！－－8个角块的位置变化数；
3⁷－－8个角块的色向变化数（3⁸个组装态之中仅1/3是转得出的）；
(24!)²－－24个棱块的位置变化数为24！，24个心块（暂时把同面的四心标记区分一下）的位置变化数为24！。四阶魔方的棱块不能就地翻色；心块也不能就地自转，移位兼自转，但纯色魔方心块显示不出方向性，故算式中没有棱块和心块的色向变化数；
/24－－约定四阶的任一态整体翻旋得到的24种不同方位只计算为一种态；
/(4!)⁶－－每四个心块显示不出区别，故某一状态时，单单四个同色心块的当时的位置分布情况之下，四者内部排列变化数4！只能算作一个位置态。共有六组同色四心，都同样把4！简并为1。这样，刚才暂时把四心标记区分的做法，现在纠正了。
至于每两个棱块看上去一样，这两棱交换不交换不能简并为一个态，因为交换必翻色，不算同态。
还有，纯色四阶允许交换两角而不影响棱块，也允许单单交换两棱，故不必如三阶那样，角块和棱块的位置随机组装数无须除以2。


n＝5时，算式为 8！×3⁷×2¹⁰×12！×(24!)³  / (4!)¹²

2¹⁰－－12个中棱块的色向变化数和三阶棱块一样，不能单翻一个中棱块，只有2¹¹；角块和中棱块的位置和三阶的一样，不能单单交换两个块，故角块、中棱块的位置随机组装数8！×12！要除以2。两种校正合并得到×2¹⁰；
12！－－12个中棱块的随机组装数。12！×8！这个位置组装数之中仅一半是转得出态，刚才已经除以2；
(24!)³－－24个边棱块的位置变化数为24！，24个斜心块的位置变化数为24！，24个直心块有24！个位置态；
/(4!)¹²－－六组同色斜心块，每组4块，四块内部位置变化4！简并为一态。六组斜心块就要除以(4!)⁶；还有六组直心块，类似，要除以(4!)⁶。

好像更高阶时，算式的解释可以类推，只是心块的分簇别弄错。

[ 本帖最后由 乌木 于 2011-3-6 20:50 编辑 ]

乌木

我上面说了，也只能就式子解释，它多算了或少算了什么的话，我是看不出了。
有些事我还未想通，请教于大家。
比如，四阶，角块做了一个二交换的话，棱块可以不变（即可以独立回复原状），但是心块一定也会有奇数个偶轮换（比如也有一个二交换，好像是无法独立使心块回复原状的），这种制约关系会影响那个四阶算式的正确性吗？好像那算式中没有体现这一制约关系吧？需要体现吗？如何体现呢？
比如，正像三阶中，角块和棱块不能单单交换两个块，以致它们的位置转得出数不是8！×12！，而是8！×12！/ 2，那么，为什么不对四阶的角块的组装数12！和心块的组装数24！之积12！×24！除以2，即它们的位置转得出数为12！×24！/ 2    呢？

对五阶算式我也有类似疑问。

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这个问题是否可以这样答复：在纯色四阶中，交换了两角之后，伴生的两心交换，如果这两个心块是同色的，就看不出变化；若是异色，总可以选取一个和两个心块之一同色的第三个心块，做独立的三轮换，使心块回复纯色前提之下的“原状”（即假的回复，显示不出心块有变即可），既不影响棱块，也不影响角块。既然不影响角块，刚才的两角交换就相当于单独的两角交换了。
所以，在纯色条件下，关于角块和心块的位置变化转出数只是12！×24！，无须考虑12！×24！/ 2 。
对吗？

[ 本帖最后由 乌木 于 2011-3-6 22:12 编辑 ]

lzqqqqqq

恩非常感谢乌木老师，能够耐心帮我算这个公式。
其实我的方法有点不一样，并没有考虑心块的轮换问题。
以四阶为例，对于中心块，我是这样考虑的：
由于是纯色的，那么对于任意一种颜色的块，比如黑色，可以从这24个位置中选4个给黑色，即C（24,4）
然后再选4个位置给黄色，即C（20,4）
以此类推，算出心块的状态数：C(24,4)*C(20,4)*C(16,4)*C(12,4)*C(8,4)*C(4,4)
我觉得这么想会简单得多，也没有用到扰动原理（其实我没看懂。。）

lzqqqqqq

我用这个方法算出了4,5,6阶的状态数，和小Z算的一样（http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=41728&extra=&page=1），和乌木老师给的链接的结果也一样
顺便提醒下小Z那个六阶纯色的数有明显错误。。

乌木

那么，你1楼的两个算式是从别处引来，贴出来只是是为了求验证的，对吗？

lzqqqqqq

哦没有，真的没有，那两个公式真的是我自己算出来的，我只是和别人对了下得数
恩具体的文章我也在写，算这个式子也是为了那个文章的

乌木

噢，真厉害。
那么，1楼那通式是从比如"C(24,4)*C(20,4)*C(16,4)*C(12,4)*C(8,4)*C(4,4)"等转换而来的，对吗？转换得到的式子恰好分子上的24！、分母上的24和4！都可以如我上面那样加以解释。

lzqqqqqq

恩对，我觉得如果这么想还是蛮简单的。。

hubo5563

楼主给出的式子是正确的。
      先说n是奇数的正确性
      n阶魔方每面中心有(n-2)²个中心块，除中心一块不动其他(n-2)²-1块都动，并且属于((n-2)²-1)/4个不同的方块族，在整个魔方上每个方块族共有24个方块，并且它们是独立的。边上有(n-3)个侧面方块和一个中块，这(n-3)个侧面块对称的是可换的，因此组成(n-3)/2个族，整个魔方每个族有24个块，并且每个族之间是相互独立的，这样，共有((n-2)²-1)/4+(n-3)/2=(n+1)(n-3)/4个相互独立的方块族，而且每个族有24个方块。每个族24个方块的排列是任意的，如果每个族的方块都有标记那么，就有24！个不同排列。然而，每个族的中心块在同一面上的颜色是相同的，有6个面，因此需要除以(4!)⁶，而编上的侧块，它有2个色，能够区分每个位置，以及每个块，因此不需要除以任何因子。色向反映在位置上了，也不必考虑色相了。边上角块和中块是三阶的，和这些是独立的。把这些乘起来，正好是楼主给的公式。
     n是偶数阶的一样。

[ 本帖最后由 hubo5563 于 2011-3-7 09:14 编辑 ]