关于24同构

pengw

定义：同一公式，在已复原魔方的24个方位上各执行一次，得到24个状态，将这些状态中互不相同的状态的集合称为同构。依据这个定义，有人愿意偿试找出一组24同构状态否？曾要求过高人举证，但没有任何结果。以前曾有24同态一说，本质上是指这样一些状态，即魔方相对坐标系做整体转动得到的状态的集合，请注意区分这个概念。

[ 本帖最后由 pengw 于 2011-5-2 09:19 编辑 ]

乌木

上述定义中“已复原魔方”的条件能否扩展为“任一态”？即，同一个打乱的初态，在24个方位上分别执行同一公式，得到的24个状态，如果互不相同，是否可以叫（关于那个初态的）“同构”？当然，这样，更加不直观了。

乌木

试试下面这样的24个态是否互不相同：

  
  

  
  

  
  

  
  



  
  

  
  

  
  

  
  



  
  

  
  

  
  

  
  



  
  

  
  

  
  

  
  



  
  

  
  

  
  

  
  



  
  

  
  

  
  

  
  


初步查看下来，24个态没有同态，正是24同构态。

[ 本帖最后由 乌木 于 2011-4-30 12:37 编辑 ]

乌木

3楼的24个同构态中，四号角周围的三棱轮换态有三个，见下图：


其中第一态也可以这样做：

  
  


其中第二个也可以这样获得：

  
  



第三个也可以这样获得：

  
  



不过，还有一种位置变化一样但色向变化不同的三棱轮换的情况，就不属于3楼的24个同构系列了：

  
  


三个棱块要么都不反向，要么只能反向两个，所以只能有上述四种色向变化。

问题是，假如四种状态直接放在面前，不知道获得的步骤，好像不容易区分其中哪几个是同构态吧？如果仅仅根据位置的变化来看的话，判断同构态容易出错的吧？

[ 本帖最后由 乌木 于 2011-4-30 18:34 编辑 ]

乌木

看来按照定义得到24个态之后，检查它们是否互不相同这一工作很要紧，比如，4楼最后一个公式 RBR2U'MF'U2MFU'R2B'R'，当魔方初态改变取向后，其中四号角周围三棱轮换的另两个态CR CU RBR2U'MF'U2MFU'R2B'R' 和CF' CU' RBR2U'MF'U2MFU'R2B'R' ，居然三者是同态！所以公式RBR2U'MF'U2MFU'R2B'R' 就没有24个同构，对吧？能否看作每三个同态简并之后，24个态就简并为8个同构了？

  
  


  
  


  
  


[ 本帖最后由 乌木 于 2011-4-30 22:43 编辑 ]

Cielo

对于任一个公式，确实不一定能得到24个不同的状态。

最极端的例子：十二棱翻色。

pengw

发贴后，一直在忙，今天才上网，十分抱歉。事实上，我至少找到二组真正意义上的24同构，在此之前，也不十分确定就一定能够找到。不但找到24同构，同时也找到与他们对称的24同构，即逆公式对应的另一组24同构，之前被称着什么48同态。寻找同构与对称（不用再说成是什么同态，谨慎或逻辑没有问题的人不会这样定义）的本质意义在于缩小搜索集合。

确如CIELO所言，不是所有状态都有24同构，例如，复原状态没有同构也没有对称，仅有一个中心块转180度的状态有6个同构，但是没有对称。

相似变换（某人所说的循环变换）可视为拓扑相同的一组状态，这种说法并不完全正确，须要付加一个条件才正确，有时间我会证明这一点。

所有同构的状态一定拓朴相同，但拓朴相同的状态，不一定是同构。

pengw

就上面的讨论而言,如果一个公式是最短公式,最多可以找到48个状态与之对应,目前找到的最小对应是1,有谁能分别找出2,3,4这样的对应?镜子里的魔方就不要讨论了,还是放在明年的愚人节上表演.

即然不是每一个状态都有24同构或与之对称的24同构(cielo的举列只有一个),则48这个数字并不具有普适价值,至于48同态,则完全是一个非正常状态的匪夷所思的发明.希望我的"猜想"能够被优雅地证伪,而不是仅仅听到无可奈何的悲吟或扰人又绝望的惨叫,诊治这样的症状需要去专门的地方,而不是论坛,

[ 本帖最后由 pengw 于 2011-5-2 08:14 编辑 ]

woshicsxyk

那么一个三换棱的PLL似乎也行的通。

pengw

对于一个表层棱三元置换公式,有二种可能,顺置换与逆置换,可能的三置换块有4个组合,这样算来,也就有24同构及其对称的24同构

[ 本帖最后由 pengw 于 2011-5-2 09:21 编辑 ]