欧拉公式的证明以及推广

咖啡味的茶

之前有人发了一个关于欧拉公式的帖子。该帖子给我许多启发，第一个就是让我想怎么可以把欧拉公式推广到高维空间（高维真的很好玩哈哈哈哈）；第二个就是用类似找到正多面体的方法，寻找四维空间的正多胞体个数，乃至是更高维度（虽然有现成结论了，但是还是想自己做一次）。
我找到了欧拉公式的一个通式：假设一个n维空间的几何体，其所含的k维元素有Nk个，那么Nk会满足
求和（i=0到n）（-1）^n*Ni=1。（这里不好打公式，下面有附图片公式）
[附件的图片1]
该证明非常美妙...几乎可以说是两三句话就可以讲明白的。

论文正文：
欧拉公式的证明及拓展



三维空间欧拉公式：V-E+F=2
我们可以改写一个形式：

N0-N1+N2=2
其中规定Nk是一个n维图形所含k维元素的个数（对高维的Nk在下文有明确定义）。
由于N3=1，该等式亦可写作N0-N1+N2-N3=1


低维度（1-2）单个形的欧拉示性数：
一维空间：

我们知道一维几何形只有一种，只有不同长度的线段。线段的元素有：1两个顶点，2一个一维形。这样的结构满足2-1=1（或者N0-N1=1）。
二维空间：

一个平面图形有无数种，统称为多边形。多边形必定满足N0=N1（或者N0-N1=0），由于还有一个二维形，所以N0-N1+N2=（N0-N1）+N2=0+1=1。
假设我们还没有对欧拉公式证明的情况下，该规律是否对三维乃至更高维度成立呢？

也就是说n维度的图形是否也满足等式
[附件图片1]

n
∑ (-1)ⁱN_i=1

i=0

由于这个问题，我们可以展开一下讨论：





为方便叙述，做出一下规定：

n维直形：n维空间里面的一个几何结构，我们称作n维形。比如正方形是二维形，立方体和正20面体是三维形。在文中讨论的几何形都是直形（也就是其所有元素可以用有限个线性表示）。

n维单形：该单性的概念是和多形作为区分的。单性该表就是一个n维形或者说Nn=1。多形是多个单性互相互补重复毫无缝隙在n维空间上的拼接。
欧拉示性数：一个n维形的欧拉示性数规定是
[附件图片2]

n         
∑ (-1)ⁱN_i=x
i=0        


高维几何引理：

1.边界定理：若想将一个n维空间分成两个部分，那么需要一个n-1维子空间分割。这一点是较好理解的，一个在三维空间中的二维平面是可以完全把这个三维空间分成两个部分的；一条一维直线可以将二维空间分割成两个部分，但是却无法把一个三维空间分成两个部分。
2.元素定理：由于每一个非0维n维直形必须有边界，所谓边界，就是某个几何形分割出该n维形的“内部”和“外部”。这样的边界必定是n-1维形。由于这个图形不是无限大的，其本身也必须有本身的边界，这个边界是n-2维形⋯⋯所以一个n维形拥有从0维形（也就是点）直到n-1维形（分割边界）的元素。
3.分割定理：假设一个k维元素被分割一次，那么必须需要一个k-1维元素来分割。所以无论怎么分割，相邻维度的元素的数值变化永远相同的，分割前后的欧拉示性数是不变的。
4.拓扑定理：一个n维单直形假设看做是“橡皮的”，我们可以按照该方法平铺于n-1维空间，成为n-1维多直形：首先取下其中一个n-1维形（分割边界），然后将这些点都“平铺”在n-1维空间上，互补重复。除了Nn-1和Nn，这个过程可以保证其他维度几何元素个数的不变（即Nk’=Nk)，其中Nn-1’+1=Nn-1，Nn’=0，Nn=1。
[附件图片3]

n            n-1
∑ (-1)ⁱN_i=∑(-1)ⁱN_i'
i=0         i=0

接下来的证明是很精巧简短的，几乎不需要任何高深的数学知识：

一维单直形的欧拉示性数：

我们知道一维几何形只有一种，只有不同长度的线段。线段的元素有：1两个顶点，2一个一维形。这样的结构满足2-1=1（或者N0-N1=1）。
高维单直形的欧拉示性数：

命题：n维单直形的欧拉示性数是1。
当n=1时，该命题成立。
假设该命题至n=k时都成立，即k维直单形的欧拉示性数是1。
当n=k+1时，由于引理4，我们知道这个n维单直形的欧拉示性数和其拓扑的n-1维多直形的欧拉示性数是一样的；又由于引理3，我们知道该性数和其拓扑n-1维多直形的欧拉示性数和一个n-1维单直形是一样的。所以当n=k+1的时候，该命题也成立。
所以说，该命题对所有n维直单性都成立。


一个漂亮的数学证明是不证自明的。

[ 本帖最后由 咖啡味的茶 于 2012-5-2 03:26 编辑 ]

Fenz

图片没显示，链接打不开。
我也关心这个问题，苦于对高维没感觉，坐看

咖啡味的茶

呃。不好意思
现在已经更新了。哈哈

铯_猪哥恐鸣

- - 我想想。。那个公式什么时候和维数有关了。。。

abandon

哈哈就是把三维铺到二维的证明推广到高维了。

liuximing1999

小学党表示完全不懂。。。。。。。