二阶魔方公式的周期有多少种?

黑白子

二阶魔方公式的周期有多少种?
在二阶魔方中是否存在周期是32的公式?

hubo5563

不可能有周期是32的公式
由于二阶魔方状态群共3674160
因为任意一个公式的周期数一定是状态数的因数，而3674160=2^4*3^8*5*7
是2的4次乘3的8次乘5乘7，2的次数是4，所以不可能有2的5次的元素。
虽然14和16都是3674160的因数，但可以断定没有周期是14的公式，也没有周期为16的公式。

黑白子

hubo5563 发表于 2016-1-9 21:44
不可能有周期是32的公式
由于二阶魔方状态群共3674160
因为任意一个公式的周期数一定是状态数的因数，而3 ...

因为2阶魔方最大周期是45，除去不是状态数因数的，还有14和16您已经排除了。由此可知，二阶魔方公式可能的周期值是{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，12，15，18，20，21，27，28，30，35，36，40，42，45}共23个数，这些都存在吗？

至尊达哥

为什么任意一个公式的周期数一定是状态数的因数？

至尊达哥

3674160的因数可以是3674160，那有没有周期为3674160的公式？

黑白子

至尊达哥 发表于 2016-1-10 15:59
为什么任意一个公式的周期数一定是状态数的因数？

这个问题涉及到群论，群论是近世代数中的重要内容，我也不懂。
群论中有一个拉格朗日定理：有穷群的子群的元数是这群的元数的因数。
一个元生成的循环群的元数就是这元的阶，阶就是周期。

hubo5563

黑白子 发表于 2016-1-10 11:44
因为2阶魔方最大周期是45，除去不是状态数因数的，还有14和16您已经排除了。由此可知，二阶魔方公式可能的 ...

也不可能有20，28，35，40，42
因为20阶循环群必有4阶元素和5阶元素，四阶元素只能是换位，5阶元素也只有换位，没有转向，共7个位置，去掉4个换位，只剩3个，所以，有4阶元素就不可能有5阶元素，因此，不会有20阶元素。也就是二阶魔方公式的周期不会有20。同理，也不会有35，40，42.
你列的几个数可以肯定有{1，2，3，4，5，6，7，9，10，12，15，18，21，30}
由于二阶相当一个角不动，动的块只有7个，因此，也不可能有8阶元素，因此，二阶魔方公式的周期也不会是8。

黑白子

hubo5563 发表于 2016-1-10 21:18
也不可能有20，28，35，40，42
因为20阶循环群必有4阶元素和5阶元素，四阶元素只能是换位，5阶元素也只 ...

谢谢胡波老师!那就只剩下{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，12，15，18，21，27，30，36，45}这18个数了，其中1是没用的。

hubo5563

黑白子 发表于 2016-1-10 21:33
谢谢胡波老师!那就只剩下{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，12，15，18，21，27，30，36，45}这18个数了， ...

你说最大周期是45，我怎么也想不到这个公式是什么？
任何一个公式都把复原的魔方转到某个状态，二阶魔方状态无非是7个角块任意排列加上角块转动。
如果这个公式存在，它有5阶元素，7个角块减去5个剩2个，因此，这个公式不会有位置的三循环，只有方向转动。如果，五个角块循环的过程中有一个角块转动，那么做15次公式，这5个角块肯定复原，另两个角块如果有换位，那么6次也能复原，公式就有2阶元素，45阶循环群是不可能有2阶元素的，所以，另两个角块是没有换位的，只有转向。那么每做3次公式，那两块也能复原，因此做15次，那两块也能复原，所以，公式就是15阶的，与假设矛盾。因此，不可能有45阶公式。
27也没有，最后只剩下2，3，4，5，6，7，9，10，12，15，18，21，30，36这14个了。
2，3，4，5，6，7这只有换位的群就存在这样的周期，
9，换位三循环，并且这三个角块只有一个反转，那么做三次公式，相当位置复原了，但方向角都转了一下，因此，这个公式的三次还需要三次才能复原，所以，需要9次。
10，有一个5循环，和一个2循环，周期是10；
12，一个4循环，一个三循环，周期是12；
15，一个5循环，循环里边还有一个转向；
18，一个6循环，循环里边还有一个转向；或者有一个三循环，循环里有一个转向，另有一个二循环；
21，一个7循环，循环里边还有一个转向；
30，一个5循环，一个2循环，循环里有一个转向；
36，一个4循环，一个3循环，3循环里有一个转向。

知道周期是45是怎么形成的了。

hubo5563

二阶魔方公式也不存在周期是21的，原因是角块不能独立转动。周期21时必有7轮换，包括了二阶魔方的所有可动块，魔方转动没有独立的角块转动，也就是说7个角块转动的总和应当是3的倍数，这样，做7次公式，魔方位置复原的同时，各个角块转动总和应该是3和7的倍数，并且由于位置正好循环一次，每个块转动次数是相等的，因此是3的倍数，也就是复原状态。因此操作7次后，魔方就复原了，他的周期是7。
以上结论不正确，原因是，二阶魔方8个角块都能动，8个角块转动总和应当是3的倍数，7个角块转动总和有可能不是3的倍数！