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标题: 对分魔方——简约与复杂的结合 [打印本页]

作者: 222222 时间: 2017-1-22 22:43:17 标题: 对分魔方——简约与复杂的结合

本帖最后由 222222 于 2017-2-7 21:07 编辑

在论坛里从来没写过什么正式的东西...正好看到老大的十三周年活动，换购的魔方void Pentultimate就是一个对分魔方，我想到在关于对分魔方的介绍一直空缺，我觉得可以自己写一篇，告诉大家魔方之海有多深~

下面很多内容大多是我从网上搜集过来并进行整理的，如果哪个地方侵权了，请见谅。
下面内容不是我自己写的，而是从这篇帖子中重新更新扩充成的。https://m.douban.com/note/143715812/

这里先讲一下有关正多面体及对偶性。
正多面体共五种，分别是正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体和正二十面体（不懂可以去百度搜一下）。
下面三幅动态图可以看出，从每个正多面体的面中心出发，并进行连接，就可以得到新的正多面体，这就叫对偶。

许多魔方是以这五种正多面体为基础进行切割而得到的，切法有三种，分别为：转角、转面、转棱。
我这里整理出了中的一类：对分正多面体。
正多面体是对称的，如果对分切割，会引入两个很棘手的问题：1.核心留在哪面，2.转轴被对分。这两个问题使得对分正多面体魔方必须拥有极其复杂的结构才能保证正常运作。
沿着这些正多面体相对的顶点、面和棱的平分面切割，就会得到十五种对分正多面体魔方。
从上述三幅动态图又可以得出，这15种组合能被归于7种基本的情况（7种轴的情况），即：
1.四轴（四面体转角=四面体转面）
2.六轴（六面体转面=八面体转角=四面体转棱）
3.八轴（八面体转面=六面体转角）
4.正十二轴（十二面体转面=二十面体转角）
5.二十轴（二十面体转面=十二面体转角）
6.菱十二轴（六面体转棱=八面体转棱）
7.菱三十轴（十二面体转棱=二十面体转棱）

作者: 222222 时间: 2017-1-22 22:43:18 标题: 1.四轴（四面体转角=四面体转面）

本帖最后由 222222 于 2017-1-22 23:02 编辑

在正四面体中，它不存在角对分和面对分，因为它是自身对偶的，每个角的对面都是一个面。不过我们可以沿着角和面的中心进行对分，得出一个二阶金字塔。
显然这种只能转转角的魔方没什么意思，当然可以拿一个八面体，在它每个不相邻的面上各钉一个正四面体，魔方就做成了。。。

附件: 1.png (2017-1-22 19:38:17, 23.05 KB) / 下载次数 212
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作者: 222222 时间: 2017-1-22 22:43:19 标题: 2.六轴（六面体转面=八面体转角=四面体转棱）

棱对分正四面体，这种正四面体叫Pyramorphix（魔棕），由Manfred Fritsche在1983年获得专利权。

转了一下

打乱状态

棱对分正四面体和二阶魔方其实是等价的，原因如下图。粉色部分是正四面体。图中可看出它的每条棱正好落在正方体的每个面上。（六面体转面=四面体转棱）
二阶魔方已经很熟悉了，我就不贴图了，它的世界纪录目前是0.49秒（简直光速级别了......）

角对分正八面体叫Pyradiamond，它的所有切面都落在棱上，所以这种魔方永远是自解的，就像一阶魔方一样（-_-!）。

下面是我在网上找到的另外几种贴纸方案，可以改变它没有变化状态的问题。

附件: 8.jpg (2017-1-22 22:29:25, 29.69 KB) / 下载次数 240
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作者: 222222 时间: 2017-1-22 22:43:20 标题: 3.八轴（八面体转面=六面体转角）

角对分正六面体/面对分正八面体，这两种魔方因为是对偶多面体的缘故，所以有相同的内部结构。正六面体的叫Skewb （斜转魔方）由Tony Durham 在1982年发明，正八面体的叫Skewb Diamond（钻石魔方）。
顺便一提，斜转魔方是Uno·Meffert所销售的经典异形魔方。它拥有迷人的外表和简单的玩法，同时它也是世界魔方协会(World Cube Association)于2014年所开始认证的魔方速拧项目，现最高纪录为平均3.10。

附件: 11.jpg (2017-1-22 22:34:42, 9.12 KB) / 下载次数 224
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作者: 222222 时间: 2017-1-22 22:43:21 标题: 4.正十二轴（十二面体转面=二十面体转角）

本帖最后由 222222 于 2017-1-22 23:27 编辑

随着轴数的增加，魔方的设计也变得越来越难。
面对分正十二面体是个外表非常漂亮的魔方，首次由Jason Smith于2008年制作成功，将其命名为Pentultimate。

第一版的Pentultimate是由20个三角形和12个五边形组成，每两个不同结构的块都有可能相遇，为了保证不产生碰撞，它需要12层导轨结构才能保证零件正常工作。

这种相互咬合的方式有个很大的优点，就是不需要中心块，因此也就不用关心中心块保留在哪面的问题。但是，让这三十二个块动起来需要820个零件，看起来这两个魔方分量不轻。

后来Jason Smith在2009年又做了这个魔方的第二个版本,主层允许所有的外部部件相互移动,诀窍是保持主层锁定到位。

在2010年，他又作出了Pentultimate角对分正二十面体型，取名Icosamate。

顺便一提，Pentultimate在2016年由mf8量产了，希望以后能摸到实物。。。

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作者: 222222 时间: 2017-1-22 22:43:22 标题: 5.二十轴（二十面体转面=十二面体转角）

本帖最后由 222222 于 2017-1-24 19:32 编辑

在2010年年末，Andrew Cormier做出了Chopasaurus（角对分正十二面体）

他只发了一张这个魔方的内部结构图，看样子和Pentultimate一样是叠层结构，这家伙有919块。

面对分正二十面体Radio Chop (Radiolarian 15)由Jason Smith于2013年发布。顺便一提，在Radiolarian 15之前，还有很多种20面体不同深度切割的魔方，这个是最深的，也是最难的。
虽然Radio Chop和Chopasaurus一样，但其内部结构更接近Jason Smith的Pentultimate V2.5版本。

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作者: 222222 时间: 2017-1-22 22:43:23 标题: 6.菱十二轴（六面体转棱=八面体转棱）

本帖最后由 222222 于 2017-1-24 22:41 编辑

这个魔方的设计也是相当难的，它的转动很特别。在其中一条轴转动时，会影响到周围的其它轴。
2008年，Matt Shepit设计了被他命名为24Cube(little chop)的棱对分六面体。

jumble状态

这个外表上只有24个块的魔方有209个零件，在转动时内部有100多个看不见的零件在工作（关于下图在九楼继续说明）。

2013年，Jason Smith也做了一个，不过他的版本不支持jumble转动，他的设计结构见下图。

除此机械版本之外，也有很多人做过磁铁版本的，但也要注意磁极的朝向，不然它会很容易散的。

棱对分八面体，作者做成了圆滑的形状。

再说个类似的，mf8老大做过一个四叶草，和24cube比较像，而且比24cube还多出了几个块，想起来肯定花了很大的功夫，希望能量产...

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作者: 222222 时间: 2017-1-22 22:43:24 标题: 7.菱三十轴（十二面体转棱=二十面体转棱）

本帖最后由 222222 于 2017-1-24 19:33 编辑

在所有魔方中，就数它最难了，所以我放在最后一个去写。

棱对分十二面体被称为big chop，外表有120个块。
这里介绍几个尝试：
尝试1：
奥斯卡（Oskar）在2009年曾经尝试过球+磁铁的制作，120个块中，每一个块有3个磁铁，加起来共360个。总重超过1公斤，在转动时，一不小心就会有几个块错位或者从里面蹦出来。奥斯卡的解决办法是用两个笼子把魔方左右各一半包起来，问题确实解决了，但是要转一下需要30秒的时间才能完成。

尝试2：
2012年，Jason Smith尝试了一个新概念，称为“随机轨道”。每个零件在同一水平面上有一个外壳或导轨。当两个零件碰撞时，一个随机上升，一个随机下降（见下图）（这个我想不太明白什么意思）。

棱对分二十面体至今还没人做出来过，其实只要棱对分十二面体做出来了，它的出现只是时间问题。这里先用软件做一下大家可以看看。
棱对分二十面体:

jumble状态:

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作者: 222222 时间: 2017-1-22 22:43:25

本帖最后由 222222 于 2017-1-24 23:17 编辑

有关little chop和big chop的设计，有一种方法是类似于二阶魔方的设计，为了理解，我先说下关于二阶魔方的结构设计。
二阶魔方的结构是将一个三阶魔方的棱块藏在里面，成为隐藏棱。图中黑色的圈就是三阶魔方的棱块被藏进里面（不要忘了定位设计，不然隐藏棱错层），然后红色的还是角块。

理解了后，有关little chop的设计就不会太难了。与上面三阶变二阶类似，我们可以先做出little chop的三阶版（master little chop）。

然后将master little chop的部分零件隐藏起来，变为little chop，但缺点是零件太多，难以实现。
下图是它们之间零件的对应关系。

同样的，big chop也可以先通过制作master big chop来实现。

具体参考：http://twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?f=9&t=19514&hilit=big+chop

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作者: 222222 时间: 2017-1-22 22:43:26

本帖最后由 222222 于 2017-1-24 14:07 编辑

文章可能会有某些错误，还请各位指出。

作者: otischeng 时间: 2017-1-23 00:36:42

帖子不錯，加深了魔友對魔方的認識。期待完整版。

作者: schuma 时间: 2017-1-23 02:07:38

MPUlt 里有个对切的 120-胞腔。等你解完了普通的，可以试试这个

作者: redcarrot 时间: 2017-1-23 09:44:08

写的不错~比较期待楼主把Big Chop的历史好好整理一下！

我觉得八轴对分的情形和其他的都有本质的区别，因为直接降成了四轴的情况~

作者: zhangrang 时间: 2017-1-23 09:55:39

写得好！可惜刚入魔的我不怎么懂

作者: 超级大帅哥 时间: 2017-1-23 10:29:30

很好，了解了些

作者: xwfh2000 时间: 2017-1-23 10:42:21

很好，长知识了

作者: 222222 时间: 2017-1-23 12:51:42

schuma 发表于 2017-1-23 02:07
MPUlt 里有个对切的 120-胞腔。等你解完了普通的，可以试试这个

转一下上百个五魔在动，我怕是没有那种能力。。。

作者: 222222 时间: 2017-1-23 12:52:37

otischeng 发表于 2017-1-23 00:36
帖子不錯，加深了魔友對魔方的認識。期待完整版。

谢谢支持，等我更新完了若有错误麻烦指出一下。

作者: 222222 时间: 2017-1-23 12:55:06

redcarrot 发表于 2017-1-23 09:44
写的不错~比较期待楼主把Big Chop的历史好好整理一下！

我觉得八轴对分的情形和其他的都有本质的区别，因 ...

嗯，我会认真整理的

，八轴对分确实不一样，但它只是在结构上退化成了4轴，是因为不相邻的心块不会相遇。但因为在转法上属于八轴，所以我觉得还是作为八轴处理更好一点。

作者: redcarrot 时间: 2017-1-23 16:23:04

222222 发表于 2017-1-23 12:55
嗯，我会认真整理的，八轴对分确实不一样，但它只是在结构上退化成了4轴，是因为不相邻的心块不会相遇 ...

也不只是结构上的退化吧。八面体斜转（Skewb Diamond）就等价于金氏金字塔，见图：

无标题.png

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作者: a7871953 时间: 2017-1-23 20:14:50

帖子好，很用心

作者: 龙门飞甲 时间: 2017-1-23 20:44:06

这个贴的技术程度也是行的

作者: law294189476 时间: 2017-1-23 21:26:57

帖子很专业，又涨姿势了

作者: 李唐哈哈 时间: 2017-1-24 08:09:54

厉害了我的哥图片拿走了

作者: 222222 时间: 2017-1-24 14:06:37

redcarrot 发表于 2017-1-23 16:23
也不只是结构上的退化吧。八面体斜转（Skewb Diamond）就等价于金氏金字塔，见图：

这个之前没注意过...

作者: 222222 时间: 2017-1-24 14:08:03

a7871953 发表于 2017-1-23 20:14
帖子好，很用心

谢谢支持。

作者: 222222 时间: 2017-1-24 14:08:51

李唐哈哈发表于 2017-1-24 08:09
厉害了我的哥图片拿走了

嗯，多宣传。

作者: 222222 时间: 2017-1-24 14:27:56

再说一句，感兴趣的可以试试用3D打印+磁铁做一个24cube，核心用球，外面的块用磁铁吸上。我试过了，转动效果还行，但要小心一点。

作者: redcarrot 时间: 2017-1-24 14:41:13

20面体转面没有写上去，Jason Smith Radiolarian系列的最后一个哈

作者: 折翼蚂蝗 时间: 2017-1-24 15:35:08

深度好贴，有很多内容是第一次见到！我一直很喜欢角对分正十二面体，不知有没有机会见到实物

作者: a7871953 时间: 2017-1-24 17:09:33

222222 发表于 2017-1-24 14:08
谢谢支持。

不客气，好帖必须顶

作者: 222222 时间: 2017-1-24 19:34:30

redcarrot 发表于 2017-1-24 14:41
20面体转面没有写上去，Jason Smith Radiolarian系列的最后一个哈

多谢提醒，这就补上。

作者: 222222 时间: 2017-1-25 11:47:55

折翼蚂蝗发表于 2017-1-24 15:35
深度好贴，有很多内容是第一次见到！我一直很喜欢角对分正十二面体，不知有没有机会见到实物

还有24cube，希望以后能量产。

作者: 222222 时间: 2017-1-25 11:48:29

折翼蚂蝗发表于 2017-1-24 15:35
深度好贴，有很多内容是第一次见到！我一直很喜欢角对分正十二面体，不知有没有机会见到实物

还有24cube，希望以后能量产。

作者: 222222 时间: 2017-1-25 15:17:38

自己顶！让更多的人看到！

作者: 龙门飞甲 时间: 2017-1-26 16:15:50

重新看了看，很有深度，楼主加油，期待完整版

作者: 222222 时间: 2017-1-26 20:37:31

龙门飞甲发表于 2017-1-26 16:15
重新看了看，很有深度，楼主加油，期待完整版

已经更新完毕。

作者: 龙门飞甲 时间: 2017-1-26 21:35:01

222222 发表于 2017-1-26 20:37
已经更新完毕。

好的好的，我看看

作者: ian_wood 时间: 2017-1-28 14:17:27

深度好帖，学到不少

作者: honglei 时间: 2017-2-2 21:51:28

四维的24cube，试试看。这个也是对切。
QQ图片20170202214923.png

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作者: 222222 时间: 2017-2-3 12:00:59

honglei 发表于 2017-2-2 21:51
四维的24cube，试试看。这个也是对切。

三维的就很难了，四维的对切，我没有太多信心。

作者: 222222 时间: 2017-2-3 12:01:32

honglei 发表于 2017-2-2 21:51
四维的24cube，试试看。这个也是对切。

这个魔方能jumble吗？

作者: honglei 时间: 2017-2-3 12:17:11

222222 发表于 2017-2-3 12:01
这个魔方能jumble吗？

反正这个版本的不行

作者: 222222 时间: 2017-2-3 12:31:41

honglei 发表于 2017-2-3 12:17
反正这个版本的不行

这个魔方属于哪一种对切?

作者: honglei 时间: 2017-2-3 12:36:45

本帖最后由 honglei 于 2017-2-3 12:43 编辑

转棱对切。

这个也是对切的，不过是转面。这个我转的是最上面的那个深蓝色的。

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作者: 222222 时间: 2017-2-3 12:39:16

本帖最后由 222222 于 2017-2-3 12:56 编辑

honglei 发表于 2017-2-3 12:36
转棱对切。

总觉得24cube的四维类比应该是转面对切。
在纸上画一下就知道了，先把24cube通过展开图变为二维，当转动时会看到它以棱中点为旋转中心，有两个面进行了交换。
同样的，在四维中，两个正方体以面中点为中心进行旋转，两个有两个正方体进行了交换。

作者: honglei 时间: 2017-2-3 12:47:16

那个网站上有7款，最复杂的就是这两个。

作者: 222222 时间: 2017-2-3 12:59:15

honglei 发表于 2017-2-3 12:47
那个网站上有7款，最复杂的就是这两个。

嗯，我去看下。

作者: schuma 时间: 2017-2-3 13:06:53

其实最简单的四维对切就是2x2x2x2啊。MC4D里就有吧

作者: 222222 时间: 2017-2-3 13:11:43

schuma 发表于 2017-2-3 13:06
其实最简单的四维对切就是2x2x2x2啊。MC4D里就有吧

最简单的不是这个，是四维二阶金字塔，纯属转转角的～

作者: schuma 时间: 2017-2-3 13:16:10

222222 发表于 2017-2-2 21:11
最简单的不是这个，是四维二阶金字塔，纯属转转角的～

哦，你把那种只转角的金字塔算对切了。我觉得这个不算对切。因为切割面不通过体的中心，或者说转动的部分和没转的部分并不全等。我觉得对切的金字塔是Pyramorphix这种。

作者: 222222 时间: 2017-2-3 13:16:33

honglei 发表于 2017-2-3 12:47
那个网站上有7款，最复杂的就是这两个。

有搜索功能吗，每次要不停地往下翻很久。

作者: 222222 时间: 2017-2-3 13:18:59

schuma 发表于 2017-2-3 13:16
哦，你把那种只转角的金字塔算对切了。我觉得这个不算对切。因为切割面不通过体的中心，或者说转动的部分 ...

有四维Pyramorphix的软件玩吗？

作者: schuma 时间: 2017-2-3 13:23:29

222222 发表于 2017-2-2 21:18
有四维Pyramorphix的软件玩吗？

我没见到过。我没仔细想过 Pyramorphix 的对应物是什么。MC4D和MPUlt 上都有一些4D Simplex (5-cell, 或者叫 {3,3,3})的魔方，不过我不记得那个的切割面通过中心了。

作者: 222222 时间: 2017-2-3 13:29:21

schuma 发表于 2017-2-3 13:23
我没见到过。我没仔细想过 Pyramorphix 的对应物是什么。MC4D和MPUlt 上都有一些4D Simplex (5-cell, 或者 ...

我曾在这些软件上找过，没有四维Pyramorphix。
四维Pyramorphix就是面-棱对分的那种，你可以编程试一试。

作者: schuma 时间: 2017-2-3 13:32:59

222222 发表于 2017-2-2 21:29
我曾在这些软件上找过，没有四维Pyramorphix。
四维Pyramorphix就是面-棱对分的那种，你可以编程试一试 ...

就是一边是棱，一边是二维的面？这样切开，两边的形状又是不全等的对吧？按我的标准这又不算对切的...

作者: 222222 时间: 2017-2-3 13:40:17

schuma 发表于 2017-2-3 13:32
就是一边是棱，一边是二维的面？这样切开，两边的形状又是不全等的对吧？按我的标准这又不算对切的...

按我自己想出来的转法来看，两边确实不全等。

作者: schuma 时间: 2017-2-3 13:46:49

222222 发表于 2017-2-2 21:40
按我自己想出来的转法来看，两边确实不全等。

有点像3D金字塔用平行于面的方式切，即使通过中心，两边也不全等。有点缺乏对称美...

作者: 222222 时间: 2017-2-3 14:40:18

schuma 发表于 2017-2-3 13:46
有点像3D金字塔用平行于面的方式切，即使通过中心，两边也不全等。有点缺乏对称美...

因为它是自身对偶的，所以两边不全等，没办法...

作者: redcarrot 时间: 2017-2-11 11:28:58

话说LZ对参考那篇豆瓣文章的作者有所了解不？看他发表的在豆瓣的几个魔方都挺有意思的，其中有一个有印象，不知道是在mf8还是TP上看的，但是现在都找不到了……

作者: 222222 时间: 2017-2-11 12:43:14

本帖最后由 222222 于 2017-2-11 12:47 编辑

redcarrot 发表于 2017-2-11 11:28
话说LZ对参考那篇豆瓣文章的作者有所了解不？看他发表的在豆瓣的几个魔方都挺有意思的，其中有一个有印象， ...

并不了解，我以前从来没玩过豆瓣网，很多不清楚。
只是后来我收到他发的私信，让我注明这篇文章是从他那边补充更新来的。
其实还有一部分也参考了TP论坛和你的文章，还有这个半正多面体的网站http://www.matrix67.com/blog/archives/6161

作者: 秘仪 时间: 2017-5-30 00:25:51

今天刚看见原帖 [对分扭计骰] 有一点感想
我们是时候考虑重新定义魔方的【阶】了
别看我等级不高我是老玩家了以前经常看大烟头和乌木等大神的帖子
哪天我另发个贴说说我的看法

作者: 秘仪 时间: 2017-5-30 00:31:07

秘仪发表于 2017-5-30 00:25
今天刚看见原帖 [对分扭计骰] 有一点感想
我们是时候考虑重新定义魔方的【阶】了
别看我等级不高我是老玩 ...

主要几点就是：我们应该把“双数阶”砸掉，把3x3定义为1阶，5x5是2阶，……
然后2x2本是3x3隐块造成，进而退化成3轴（不说6轴，同理斜转就是4轴），说来话长

除此还有我对混装魔方、捆绑魔方、变形魔方、暗绑魔方的初步定义不知前人研究过没有
混装魔方：在某个或某些状态中，存在某个或某些块的位置可以到达该魔方复原态魔方内部该块簇（组）位置之外的位置（轴摆放一致）。如果魔方有这样现象则该魔方称为混装魔方。（一个块簇（组）有潜力充进其他位置，但是该位置被其他块簇占用，或者说两个毫不相关的块簇占了同一种位置）
捆绑魔方：在一个魔方所占的空间中，标注出所有可能的状态中某个块簇（组）出现的位置，如果这些区域有重叠现象，说明这是一个捆绑魔方。捆绑魔方一定是混装魔方。为了区分下文”暗绑魔方“，捆绑魔方也可叫作明绑魔方。
变形魔方：在某个或某些状态中，存在某个或某些块的位置可以到达该魔方复原态所有块位置之外的位置（轴摆放一致）。如果魔方有这样现象则该魔方称为变形魔方。
注：以上的“块”都指块的卡角位置，即魔方内部的位置，否则镜面魔方的块也能到达还原态魔方外部（实际不算），335魔方“大角块”的横放竖放也会有重叠（实际卡角位置没有重叠）。而且“块"只指面块，就是露在外面的块（如4阶的隐藏块等不算）
暗绑魔方：存在由于不同状态下魔方内部结构不定而造成的块簇（组）划定不明、限转现象的魔方叫暗绑魔方。（把4阶魔方隐藏块和中心螺丝那块绑一起，随着魔方转动，不一定哪个部位走到那被它捆住了，它的效果还随4阶的定位方式不同而不同，说来话长……）
混装魔方、捆绑魔方、变形魔方、暗绑魔方统称非正常魔方。
举例：
４阶的“ＡＩ”捆绑仅仅是混装魔方，而不是捆绑魔方！
把铭浩之335的上两层和中层，铭浩之337的下三层混装起来，得到的仅仅是一个混装魔方
铭浩之３３５魔方仅仅是变形魔方
国丙３阶奥斯卡混元魔方什么也不是！因为它的“棱”和“中心”是同一个块簇。
国丙４阶奥斯卡混元是混装魔方，捆绑魔方，因为它的棱块占了中心两个小块的位置。
ＳＱ－１魔方是混装魔方，捆绑魔方
国丙（或梯色）的４４２既是混装魔方又是捆绑魔方，还是变形魔方
九心四阶魔方（把4阶中心片抠开，在里面9块涂色）是暗绑魔方
冈本插销魔方（四分一限转魔方）是暗绑魔方
国丙智途内六色（即３阶２×２捆绑）不是暗绑魔方，它什么也不是！（因为要求轴摆放固定）
注：对于双数阶的魔方，或者其他魔方也一样，若转动半个魔方导致转动后魔方的轴的情况跟原来一样，即使内部可能发生连轴转，但仍视为轴不动。“保持轴摆放一致”的意思是魔方在转动中不许转轴、转体。（特：斜转是４实轴、４虚轴，共８轴，转动时虚、实轴叠加在一起的位置是始终不变的。）

作者: 秘仪 时间: 2017-5-30 00:32:06

秘仪发表于 2017-5-30 00:31
主要几点就是：我们应该把“双数阶”砸掉，把3x3定义为1阶，5x5是2阶，……
然后2x2本是3x3隐块造成，进 ...

补充：我说了2X2算3轴，斜转是４轴，这个是我以前写的改一下

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