双空穴换位子的7种模式及其图解

123wyx

双空穴换位子的7种模式及其图解

123wyx

       最近一段时间，5轮换专家天方魔彭永强魔友在mf8论坛发表了《三盲[五循环]研究》、《[五循环]实例及“标态”研究》，对5轮换及双空穴换位子的原理进行了深入的探讨，并给出了相应的例子。这些文章对大家理解、研究5轮换起到了重要的作用。

       下面，我把天方魔文章中提到的双空穴换位子的各种模式简单整理一下，并配上相应的图片，以使大家能够更加直观地理解这些内容。

【注】
       需要指出的是，换位子（commutator）是抽象代数中的一个重要概念。对群G的元素a,b，称[a,b]=aba’b’为a,b的换位子，其中a’与b’分别表示a与b的逆元素。换位子是衡量交换性的一个尺度。

       “换位子”是“commutator”一词在数学界的标准译名。魔方界使用commutator发展盲拧理论已有十余年的历史，盲拧理论中的“commutator”这一概念正是来源于抽象代数的换位子概念，所以把“commutator”一词译为“换位子”是完全合理的。希望看到更多的盲拧选手使用“换位子”这一规范的译名。

123wyx

       这里插一层楼给出笔者主要技术帖的索引，以方便大家交流探讨。

《三阶魔方三轮换分类及其应用》
《教你手算彳亍法角块378公式》
《棱块RU流三轮换公式原理浅析》
《棱块三轮换公式的四种模式》
《对换位子公式的一点理解》
《双空穴换位子的7种模式及其图解》
《我练习多盲的方法和经验》
《魔方盲拧与竞技记忆》（《魔方》杂志第9期）

很久以前写的一些小文章：
《学习盲拧注意事项》
《奇偶带翻角》
《30.58解法分析》（2011年许宇辉老师三盲世界纪录解法）
《五魔方盲拧法》

123wyx

       首先用一张图回顾一下我们最熟悉的单空穴换位子3轮换的原理。

图  单空穴换位子3轮换

       通过上图，我们可以明确地看到换位子[A,B]=ABA’B’中的四个步骤的作用。

       我们在盲拧中使用的几乎全部角块3轮换（详见《教你手算彳亍法角块378公式》）以及拙作《棱块三轮换公式的四种模式》中提到的棱块“普通换位子”公式都是单空穴换位子3轮换（“普通换位子”中所谓“普通”指的正是“单空穴”）及其共轭（即加上setup/reverse）的形式。

123wyx

       天方魔的文章《[五循环]实例及“标态”研究》对双空穴换位子的原理进行了分析。文章指出，双空穴换位子[A,B]=ABA’B’四个步骤中的每一步骤（以下简称为“单步骤”）都会对两个空穴产生影响。按照两空穴位置移动的效果，可以把单步骤分为三类：“完全替换”、“半替换”和“互相替换”。《[五循环]实例及“标态”研究》的3楼已经给出了这三种单步骤的图解。（以下把这三种单步骤依次分别简称为“全”、“半”和“互”。）

       文章还指出，双空穴换位子[A,B]=ABA’B’的A和B这两个单步骤可以分别取三种单步骤（即“全”、“半”和“互”）的其中一种，不同的单步骤组合会产生不同的置换效果。

       其中，当A与B一个是“完全替换”，另一个是“半替换”时，换位子的效果将是一个5轮换。该文章指出，5轮换的“标态”必然是“完全替换”+“半替换”的状态。（本文把这种模式简记为“全+半”。）

       5轮换“全+半”的图解如下。

图  5轮换“全+半”

       那么我们自然想到，双空穴换位子[A,B]=ABA’B’的A和B这两个单步骤各取“全”、“半”、“互”的其中一种，可以构成多少种不同的组合？这些组合构成的换位子分别产生什么样的置换效果？

       下面笔者以天方魔的文章为依据，尝试整理出双空穴换位子的各种模式，并给出相应的图解和例子。

123wyx

       笔者目前把双空穴换位子整理为7种模式，它们分别是：

1. “全+半”——5轮换；
2. “全+全”——双3轮换；
3. “全+互”——双对换(1)；
4. 同向“半+半”——双对换(2)；
5. 异向“半+半”——双对换(3)；
6. “半+互”——M流3轮换；
7. “互+互”——不变。

（也许存在尚未想到的情况，欢迎读者补充。）

       我们逐个分析这7种模式。

123wyx

1. “全+半”——5轮换

图  “全+半”——5轮换

       从上图可以看到，通过“全+半”形式的移动，换位子涉及的5个块发生了轮换。

       5轮换最经典的例子就是[U,M’]=UM’U’M。绝大部分实用的5轮换都可以看作这个短公式的共轭。

       [U,M’]=UM’U’M这个公式中，UF和UB构成双空穴。第一步U把UR和UL分别移到UF和UB这两个空穴位置，所以是“完全替换”；第二步M’把FD和UF分别移到UF和BU这两个空穴位置，所以是“半替换”。也就是说，这个公式是“全+半”的结构，它也确实产生了5轮换的效果。

       还有一个例子是[LU’L’U’,M2]。天方魔《[五循环]实例及“标态”研究》的1楼已经对这个例子作出了详细的解释。我们看到，这个公式中UF和UB构成双空穴。第一步骤LU’L’U’把UL和UF分别移到UF和UB这两个空穴位置，所以是“半替换”；第二步骤M2把DB和DF分别移到UF和UB这两个空穴位置，所以是“完全替换”。也就是说，这个5轮换公式也是“全+半”的结构。

123wyx

2. “全+全”——双3轮换

图  “全+全”——双3轮换

       从这张图可以看出，“全+全”形式的双空穴换位子产生了双3轮换的效果。

       例如，在公式[U,M2]=UM2U’M2中，UF和UB构成双空穴。第一步U把UR和UL分别移到UF和UB这两个空穴位置，所以是“完全替换”；第二步M2把DB和DF分别移到UF和UB这两个空穴位置，所以也是“完全替换”。也就是说，这个公式是“全+全”的结构，它产生双3轮换（UF-DB-UR与UB-DF-UL两个3轮换）的效果。

123wyx

3. “全+互”——双对换(1)

       在本文所述7种模式中，有3种产生了双对换（即双2轮换）的效果，它们分别是“全+互”、“同向‘半+半’”以及“异向‘半+半’”。我们分别来看。

图  “全+互”——双对换(1)

       从这张图可以看出，“全+互”形式的双空穴换位子产生了双对换的效果。

       例如，在公式[U2,M2]=U2M2U2M2中，UF和UB构成双空穴。第一步U2把UB和UF分别移到UF和UB这两个空穴位置，所以是“互相替换”；第二步M2把DB和DF分别移到UF和UB这两个空穴位置，所以是“完全替换”。也就是说，这个公式是“全+互”的结构，它产生双对换（UF-UB与DF-DB两个对换）的效果。

123wyx

4. 同向“半+半”——双对换(2)

图  同向“半+半”——双对换(2)

       图中所示的前两个单步骤可以看成把空穴向同样的方向移动（此图中前两步都是左边空穴上的块移动到右边的空穴上），所以我们将此图所示模式称为“同向‘半+半’”。

       从这张图可以看出，同向“半+半”形式的双空穴换位子也产生了双对换的效果。

       例如，在公式[LU’L’U’,M’]=(LU’L’U’)M’(ULUL’)M中，UF和UB构成双空穴。第一步骤LU’L’U’把UL和UF分别移到UF和UB这两个空穴位置，所以是“半替换”；第二步骤M’把FD和FU分别移到UF和UB这两个空穴位置，所以也是“半替换”。而且我们注意到，前两个步骤都是把UF空穴上的块移动到UB空穴位置上，所以这个公式是同向“半+半”的结构，它产生双对换（UF-UB与UL-DF两个对换，注意色向问题）的效果。

123wyx

5. 异向“半+半”——双对换(3)

       除了上面介绍的“同向‘半+半’”，还有一种“半+半”的模式，即“异向‘半+半’”。

图  异向“半+半”——双对换(3)

       图中所示的前两个单步骤可以看成把空穴向相反的方向移动（此图中第一步是左边空穴上的块移动到右边的空穴上，而第二步是右边空穴上的块移动到左边的空穴上），所以我们将此图所示模式称为“异向‘半+半’”。

       从这张图可以看出，异向“半+半”形式的双空穴换位子仍产生双对换的效果。

       例如，在公式[LU’L’U’,M]=(LU’L’U’)M(ULUL’)M’中，UF和UB构成双空穴。第一步骤LU’L’U’把UL和UF分别移到UF和UB这两个空穴位置，所以是“半替换”；第二步骤M把BU和BD分别移到UF和UB这两个空穴位置，所以也是“半替换”。而且我们注意到，第一个步骤是把UF空穴上的块移动到UB空穴位置上，而第二个步骤是把UB空穴上的块移动到UF空穴位置上，所以这个公式是异向“半+半”的结构，它产生双对换（UF-UL与UB-DB两个对换）的效果。