如何给定一个魔方，不复原而判定是否处于可恢复的状态？ [复制链接]

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蓝魔

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发表于 2008-8-17 15:36:00 |只看该作者 |倒序浏览

我刚来这个坛。其实各位前辈提出的扰动概念并不新鲜，我也看过类似结论。 不过一个难题是：如何证明绝对不可能将单独一个棱翻转，或诸如此类的转动？ 为了证明绝对不可能，当面对魔方巨大的状态数时很明显穷举是没前途的。数学上一般采用的是”不变量“，证明每次进行旋转的时候，总有一些东西是不会改变的，而这些东西在某个扰乱状态下有不同的值。 这个“值”是广义的，可能是一个数字，也可能是一个抽象群（例如3阶对称群）的一个元素。 http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=592&extra=page%3D1 这篇文章里面的分析，我就不再重复，但是那里面的结论多数没有证明。那里面关于角块和棱块位置变换的部分基本上是置换群理论的应用，没什么好说的。对它们的证明只有一句话： 因为每次旋转魔方，角块和棱块发生4轮换，在置换群里面属于“奇”变换，而2个奇变换合成一个偶的，因此每次旋转，整体变换必然是偶变换。 关于中心块色向，由于3阶的中心块是独立的，因此证明也没有困难：每次旋转都将一个中心块转90度，但是你要让其它东西不动的话，你得消除角块和棱块的奇变换，因此在其它块不动情况下，总的中心旋转角度只能有偶数个90度和若干个180度。 对于棱块定向，所引的文章里面的分析简略，没有提到当棱块位置变动时，该如何确定正确的棱块定向。这样，给定一个魔方，难以根据该文所述理论判定它是否扰动态，除非先将它尽量复原。 我提出的解决方法是：为每一个可能的位置，决定一个”正确的“定向。 当棱块在原始位置，定向当然是原始方向。如果它与原始位置相邻（只要一次90度转动即可到达），那么它的定向为与该次转动后到达的方向相反。这样，只要一点功夫，就可以整理好所有位置的定向。在这样的定义下，任何90度转动会把参与转动的4个棱块全部翻转。从而，我们找到了不变量：每次转动总的翻转数目总是偶数。 角块是一个大难题，要按如上方案找到角块的定向是不可能的。对于每个角块8个可能位置中的4个（原始位置和3个转动18度后所达位置）这样做是可能的，方法就是把两个相对的面颜色看作是相同的，然后如果角块和中心块颜色一致则为正确方向。而对于另外4个，就没有那么容易了，我尝试了很久，都没能找到合适的定义方法。似乎要考虑角块的话，角块在其中4个位置有3种定向，而在另外4个位置有另外3种，总共有6种不同的定向。 这6种定向还不是简单的数字，似乎是一个3阶对称群的6个元素。这样我们才可以说，每次90度旋转，所有涉及的角块全部乘以了该群的一个“对换”元素。 如果我们没有对称性的要求（即要求所有旋转都有同样的地位）那么还是可以找出一个定义的。比方说，我们指定2个相对的面（比如底面和顶面），只要这2个面上的角块和2个中心块之一颜色一致，则判断为正确，否则错误。 在这样的定义下，旋转指定两个面对角块方向的效应为无作用，而其他面的旋转导致2个角块正转120度，另2个反转120度。 但是没有了对称性的要求，会造成 总结： 如何给定一个魔方，判定是否处于可恢复的状态？对于角块、棱块的位置变化，我们有了答案，对于中心块和棱块的方向，我们也有了答案。但是对于角块的方向，我们还没有符合对称性的简单答案。

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