魔方公式系统－由 庄周蝴蝶 提供

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魔方公式系统 由 庄周蝴蝶 供稿

1.魔方公式系统的基本概念 　注：以下理论皆以 square one 魔方为例进行说明，其大部分理论可适合于大部分魔方。蓝色字体为概念定义、推论等。 　块：组成魔方的各个部分，只对魔方表现部分而言，不针对魔方内部结构。 　形态：魔方所能转出来的各种形状。 　块位置：在某种形态下，某个块所在的位置。 　同一形态：若有两个形态，外部形状一样，每一个块位置相同的块虽然颜色不一样，但是块形状一样，则称这两个形态为同一形态。 　步骤单位：转动一次魔方，使魔方达到某一种形态的操作称为一个步骤单位。 　公式：魔方公式是由一系列步骤单位组成，转动开始前的魔方形态必须是特定的，转动开始前的魔方形态和转动完成后的魔方形态是同一形态。(特定的含义是这一系列步骤单位只针对这一种形态，对其他形态无效) 　公式步长：公式包含的步骤单位个数。 　基础公式：如果公式从任何一个步骤单位处断开形成的系列步骤，均不能符合公式的定义，则称该公式为基础公式。即基础公式是不能细化的。 　组合公式：根据已有的公式进行排列叠加形成的公式。很显然，组合公式不是基础公式。 　变换：经过公式转动后，魔方形态没发生变化，但是块位置上的块会发生变化，我们称这种变化叫变换。 　变换体系：某种块经过变换所能到达的所有块位置，组成了一个变换体系。在这里一个变换体系中的块一定是相同形状的。例如：3阶魔方和 square one 有 3 个体系：角体系、边体系和中心块(中层)体系,体系与体系之间的块是不能够经过变换到达的。 　魔方公式系统：对某种魔方进行块位置定义，变换体系定义、步骤单位定义、基本公式定义，然后根据基本公式定义发现、挖掘出组合公式定义等一系列以将魔方颜色复原为目的的一套公式系统。

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2.魔方公式系统的假设（以 square one 为例）

　魔方的放置定义：

　　垂直轴放在前面的左侧。

　变换体系定义：

　　square one 共 3 个体系：角体系 - Corner, 边体系 - Edge, 中层体系 - 定义略(中层比较简单，所以以后都不考虑)

　块位置定义：

　　魔方放置好后，如图，遵循顺时针的原则定义角体系的块位置 c1 - c8,边体系的块位置 e1 - e8

　步骤单位定义：

　　步骤单位定义就是定义如何描述对魔方的转动。这里沿用 ie0.0 的翻译文章。　

• t 表示顶面 top 　　
  
• b 表示底面 bottom 　　
  
• R 表示沿着垂直轴旋转右侧魔方 180 度

　　字母 t 与 b 后会用数字来表示顶面或底面旋转的角度，其中 1 个单位代表30度。因此，t1 就表示顺时针旋转顶面 30 度，t-1 则表示反时针旋转顶面30度。同样地，b3 表示顺时针旋转底面90度（3 个 30 度），b-2 表示旋转底面60度（2 个 30 度）。（这里说的顺时针或反时针是以面对着特定面为准的，即顶面的时针方向是以面对顶面为准的，即底面的时针方向是以面对底面为准的）。

　　比如公式 (t1 R t3 R t-1)

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3.变换、变换元素和变换集合、公式变换集合

　前面我们说到，变换：经过公式转动后，魔方形态没发生变化，但是块位置上的块会发生变化，我们称这种变化叫变换。那么如何表达一个变换？经过一个公式后，一个块位置上的块要么发生变化要么不变，如果发生变化，那么因为魔方的块个数是有限的，所以必定构成一个变化循环，比如 c1 位置上的块变化到 c3 位置，c3 位置上的块变化到 c7 位置，c7 位置上的块变化到 c1 位置。我们称这样一个变化循环为变换元素。

　设有n个块位置上的块发生变化，且构成一个变化循环，那么设Bn为第n个块位置，我们用　

　B1 > B2 > ... Bn 来表达一个变换元素，特殊地 n=1 时,变换元素为 bn

　比如 c1 > c3 > c7, e4 > e5, e8 都是变换元素

　变换元素的长度：变换元素包含的块位置的个数。

　变换集合：即由变换元素形成的的集合。比如 {c1>c3>c7,c4>c5,c2,c6,c8}

　公式变换集合：即魔方经过公式变化后，所有块位置变化的变换元素形成的集合。称为该公式的变换集合，这个集合是确定的，即公式只要确定了，那么其变换集合也就确定了。比如 square on e的公式(t1 R t3 R t-1)的变换集合一定为

　例如：c1 > c7 > c8 和 c7 > c8 > c1 等价，e2 > e4 > e6 和 e2 > e4 > e7 不等价，e2 > e4 > e6 和 e2 > e6 > e4 不等价。

　互逆：设有两个变换元素 A 和 B，变换元素的长度和包含的块位置个体都是一样的，只是变换不一样。设变换元素长度为 n，

　其中 A = B1 > B2 > B3 > ... Bn, B = B1 > Bn > Bn-1 > ... B3 > B2，即 B 按着 A 的反方向发生变换，则称变换元素 A 和 B 互逆。

　例如： c1 > c7 > c8 和 c1 > c8 > c7 互逆, e3 > e4 自互逆，e6 自互逆，e2 > e5 > e7 和 e2 > e7 > e4 不是互逆关系。

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4.建立基础公式表

　有了以上的知识，我们就可以建立基础公式表了。先是建立基础公式，然后根据基础公式去发现组合公式。square one最基础的公式我们用T0(m,n) 来表示，其中 m 为顶层顺时针旋转的单位角度(一个单位角度为 30 度)，,n 为底层顺时针旋转的单位角度，m 和 n 必须至少有一个为 0，得到下表。

　square one 的 T0(m,n) 公式表：

T0(m,n) = tm bn(m,n = 0,3,6,9,且 m 和 n 必须至少有一个为 0)
公式描述	角变换集合	边变换集合
T0 (0,0)
T0 (3,0)	c1 > c2 > c3 > c4	e1 > e2 > e3 > e4
T0 (6,0)	c1 > c 3 c2 > c4	e1 > e3 e2 > e4
T0 (9,0)	c1 > c4 > c3 > c2	e1 > e4 > e3 > e2
T0 (0,3)	c5 > c8 > c7 > c6	e5 > e8 > e7 > e6
T0 (0,6)	c5 > c7 c6 > c8	e5 > e7 e6 > e8
T0 (0,9)	c5 > c6 > c7 > c8	e5 > e6 > e7 > e8

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5.square one 的 T1 和 T2 公式表

　这也是基础公式表，因为从任何一个步骤单位断开将不能形成公式。

　square one 的 T1(m,n) 公式表:

T1(m,n) = t1 R tm bn R t-1 (m,n = 0,3,6,9)
公式描述	角变换集合	边变换集合
T1(0,0)
T1(3,0)	c1 > c2 > c8 > c7	e1 > e2 > e5 > e8
T1(6,0)	c1 > c8 c2 > c7	e1 > e5 e2 > e8
T1(9,0)	c1 > c7 > c8 > c2	e1 > e8 > e5 > e2
T1(0,3)	c3 > c4 > c6 > c5	e3 > e4 > e7 > e6
T1(3,3)	c1 > c2 > c8 > c7 c3 > c4 > c6 > c5	e1 > e2 > e5 > e8 e3 > e4 > e7 > e6
T1(6,3)	c1 > c8 c2 > c7 c3 > c4 > c6 > c5	e1 > e5 e2 > e8 e3 > e4 > e7 > e6
T1(9,3)	c1 > c7 > c8 > c2 c3 > c4 > c6 > c5	e1 > e8 > e5 > e2 e3 > e4 > e7 > e6
T1(0,6)	c3 > c6 c4 > c5	e3 > e7 e4 > e6
T1(3,6)	c1 > c2 > c8 > c7 c3 > c6 c4 > c5	e1 > e2 > e5 > e8 e3 > e7 e4 > e6
T1(6,6)	c1 > c8 c2 > c7 c3 > c6 c4 > c5	e1 > e5 e2 > e8 e3 > e7 e4 > e6
T1(9,6)	c1 > c7 > c8 > c2 c3 > c6 c4 > c5	e1 > e8 > e5 > e2 e3 > e7 e4 > e6
T1(0,9)	c3 > c5 > c6 > c4	e3 > e6 > e7 > e4
T1(3,9)	c1 > c2 > c8 > c7 c3 > c5 > c6 > c4	e1 > e2 > e5 > e8 e3 > e6 > e7 > e4
T1(6,9)	c1 > c8 c2 > c7 c3 > c5 > c6 > c4	e1 > e5 e2 > e8 e3 > e6 > e7 > e4
T1(9,9)	c1 > c7 > c8 > c2 c3 > c5 > c6 > c4	e1 > e8 > e5 > e2 e3 > e6 > e7 > e4

square one 的 T2(m,n) 公式表：

T2(m,n) = t1 R tm bn t-1 b-1 R b1 (m,n = 0,3,6,9)
公式描述	角变换集合	边变换集合
T2(0,0)		e1 > e7 e3 > e5
T2(3,0)	c1 > c2 > c8 > c7	e1 > e2 > e3 > e5 > e8 > e7
T2(6,0)	c1 > c8 c2 > c7	1 > e3 > e5 > e7 e2 > e8
T2(9,0)	c1 > c7 > c8 > c2	e1 > e8 > e3 > e5 > e2 > e7
T2(0,3)	c3 > c4 > c6 > c5	e1 > e7 > e6 > e5 > e3 > e4
T2(3,3)	c1 > c2 > c8 > c7 c3 > c4 > c6 > c5	e1 > e2 > e3 > e4 e5 > e8 > e7 > e6
T2(6,3)	c1 > c8 c2 > c7 c3 > c4 > c6 > c5	e1 > e3 > e4 e2 > e8 e5 > e7 > e6
T2(9,3)	c1 > c7 > c8 > c2 c3 > c4 > c6 > c5	e1 > e8 > e3 > e4 e2 > e7 > e6 > e5
T2(0,6)	c3 > c6 c4 > c5	e1 > e7 > e5 > e3 e4 > e6
T2(3,6)	c1 > c2 > c8 > c7 c3 > c6 c4 > c5	e1 > e2 > e3 e4 > e6 e5 > e8 > e7
T2(6,6)	c1 > c8 c2 > c7 c3 > c6 c4 > c5	e1 > e3 e2 > e8 e4 > e6 e5 > e7
T2(9,6)	c1 > c7 > c8 > c2 c3 > c6 c4 > c5	e1 > e8 > e3 e2 > e7 > e5 e4 > e6
T2(0,9)	c3 > c5 > c6 > c4	e1 > e7 > e4 > e5 > e3 > e6
T2(3,9)	c1 > c2 > c8 > c7 c3 > c5 > c6 > c4	e1 > e2 > e3 > e6 e4 > e5 > e8 > e7
T2(6,9)	c1 > c8 c2 > c7 c3 > c5 > c6 > c4	e1 > e3 > e6 e2 > e8 e4 > e5 > e7
T2(9,9)	c1 > c7 > c8 > c2 c3 > c5 > c6 > c4	e1 > e8 > e3 > e6 e2 > e7 > e4 > e5

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7.变换集合表

　制定好一批公式后，我们可以对公式的变换集合进行编号。编号是为了更好地对魔方进行组合公式的研究。

　下表是 square one 的公式 T0,T1,T2 的角变换集合表。编号原则为 C=xx，所有角变换等价的公式将罗列在一起。

T0,T1,T2 的角变换集合表
编号	角变换集合	角变换集合相同的公式
C=01		T0(0,0) T1(0,0) T2(0,0)
C=02	c1 > c2 > c3 > c4	T0(3,0)
C=03	c1 > c3 c2 > c4	T0(6,0)
C=04	c1 > c4 > c3 > c2	T0(9,0)
C=05	c5 > c8 > c7 > c6	T0(0,3)
C=06	c5 > c7 c6 > c8	T0(0,6)
C=07	c5 > c6 > c7 > c8	T0(0,9)
C=08	c1 > c2 > c8 > c7	T1(3,0) T2(3,0)
C=09	c1 > c8 c2 > c7	T1(6,0) T2(6,0)
C=10	c1 > c7 > c8 > c2	T1(9,0) T2(9,0)
C=11	c3 > c4 > c6 > c5	T1(0,3) T2(0,3)
C=12	c1 > c2 > c8 > c7 c3 > c4 > c6 > c5	T1(3,3) T2(3,3)
C=13	c1 > c8 c2 > c7 c3 > c4 > c6 > c5	T1(6,3) T2(6,3)
C=14	c1 > c7 > c8 > c2 c3 > c4 > c6 > c5	T1(9,3) 2(9,3)
C=15	c3 > c6 c4 > c5	T1(0,6) T2(0,6)
C=16	c1 > c2 > c8 > c7 c3 > c6 c4 > c5	T1(3,6) T2(3,6)
C=17	c1 > c8 c2 > c7 c3 > c6 c4 > c5	T1(6,6) T2(6,6)
C=18	c1 > c7 > c8 > c2 c3 > c6 c4 > c5	T1(9,6) T2(9,6)
C=19	c3 > c5 > c6 > c4	T1(0,9) T2(0,9)
C=20	c1 > c2 > c8 > c7 c3 > c5 > c6 > c4	T1(3,9) T2(3,9)
C=21	c1 > c8 c2 > c7 c3 > c5 > c6 > c4	T1(6,9) T2(6,9)
C=22	c1 > c7 > c8 > c2 c3 > c5 > c6 > c4	T1(9,9) T2(9,9)

下表是 square one 的公式 T0,T1,T2 的边变换集合表。编号原则为 E=xx，所有边变换等价的公式将罗列在一起。

T0,T1,T2 的边变换集合表
编号	边变换集合	边变换集合相同的公式
E=01		T0(0,0),T1(0,0)
E=02	e1 > e2 > e3 > e4	T0(3,0)
E=03	e1 > e3 e2 > e4	T0(6,0)
E=04	e1 > e4 > e3 > e2	T0(9,0)
E=05	e5 > e8 > e7 > e6	T0(0,3)
E=06	e5 > e7 e6 > e8	T0(0,6)
E=07	e5 > e6 > e7 > e8	T0(0,9)
E=08	e1 > e2 > e5 > e8	T1(3,0)
E=09	e1 > e5 e2 > e8	T1(6,0)
E=10	e1 > e8 > e5 > e2	T1(9,0)
E=11	e3 > e4 > e7 > e6	T1(0,3)
E=12	e1 > e2 > e5 > e8 e3 > e4 > e7 > e6	T1(3,3)
E=13	e1 > e5 e2 > e8 e3 > e4 > e7 > e6	T1(6,3)
E=14	e1 > e8 > e5 > e2 e3 > e4 > e7 > e6	T1(9,3)
E=15	e3 > e7 e4 > e6	T1(0,6)
E=16	e1 > e2 > e5 > e8 e3 > e7 e4 > e6	T1(3,6)
E=17	e1 > e5 e2 > e8 e3 > e7 e4 > e6	T1(6,6)
E=18	e1 > e8 > e5 > e2 e3 > e7 e4 > e6	T1(9,6)
E=19	e3 > e6 > e7 > e4	T1(0,9)
E=20	e1 > e2 > e5 > e8 e3 > e6 > e7 > e4	T1(3,9)
E=21	e1 > e5 e2 > e8 e3 > e6 > e7 > e4	T1(6,9)
E=22	e1 > e8 > e5 > e2 e3 > e6 > e7 > e4	T1(9,9)
E=23	e1 > e7 e3 > e5	T2(0,0)
E=24	e1 > e2 > e3 > e5 > e8 > e7	T2(3,0)
E=25	e1 > e3 > e5 > e7 e2 > e8	T2(6,0)
E=26	e1 > e8 > e3 > e5 > e2 > e7	T2(9,0)
E=27	e1 > e7 > e6 > e5 > e3 > e4	T2(0,3)
E=28	e1 > e2 > e3 > e4 e5 > e8 > e7 > e6	T2(3,3)
E=29	e1 > e3 > e4 e2 > e8 e5 > e7 > e6	T2(6,3)
E=30	e1 > e8 > e3 > e4 e2 > e7 > e6 > e5	T2(9,3)
E=31	e1 > e7 > e5 > e3 e4 > e6	T2(0,6)
E=32	e1 > e2 > e3 e4 > e6 e5 > e8 > e7	T2(3,6)
E=33	e1 > e3 e2 > e8 e4 > e6 e5 > e7	T2(6,6)
E=34	e1 > e8 > e3 e2 > e7 > e5 e4 > e6	T2(9,6)
E=35	e1 > e7 > e4 > e5 > e3 > e6	T2(0,9)
E=36	e1 > e2 > e3 > e6 e4 > e5 > e8 > e7	T2(3,9)
E=37	e1 > e3 > e6 e2 > e8 e4 > e5 > e7	T2(6,9)
E=38	e1 > e8 > e3 > e6 e2 > e7 > e4 > e5	T2(9,9)

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8.互逆变换集合对应表

　根据交换集合表，可以把互逆的变换集合罗列出来。

　下表是 square one 的公式 T0,T1,T2 的互逆角变换集合对应表。编号原则为 C^xx。

T0,T1,T2 的互逆角变换集合对应表
编号	互逆的角变换集合
C^01	C=01
C^02	C=02,C=04
C^03	C=03
C^04	C=05,C=07
C^05	C=06
C^06	C=08,C=10
C^07	C=09
C^08	C=11,C=19
C^09	C=12,C=22
C^10	C=13,C=21
C^11	C=14,C=20
C^12	C=15
C^13	C=16,C=18
C^14	C=17

　下表是 square one 的公式 T0,T1,T2 的互逆边变换集合对应表。编号原则为 E^xx。

T0,T1,T2 的互逆边变换集合对应表
编号	互逆的边变换集合
E^01	E=01
E^02	E=02,E=04
E^03	E=03
E^04	E=05,E=07
E^08	E=06
E^11	E=08,E=10
E^12	E=09
E^13	E=11,E=19
E^14	E=12,E=22
E^15	E=13,E=21
E^16	E=14,E=20
E^17	E=15
E^18	E=16,E=18
E^19	E=17
E^20	E=23
E^21	E=33

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9.square one 的 T3 公式表

http://mf8.nease.net/cube/mfsystem.htm

[此贴子已经被作者于2005-5-31 10:23:39编辑过]

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请“庄周蝴蝶”先生继续依据不同的魔方完善您的公式系统。谢谢！

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都是些深奥的知识