N 阶魔方通用复原法的探讨

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N 阶魔方通用复原法的探讨

由 Joseph 供稿

事先约定 术语介绍> 一、顶层面块 二、顶层四角 三、顶层外棱 四、顶层内棱 五、中层外棱 六、中层内棱 七、底层四角 八、底层外棱 九、底层内棱 十、底层和中层面块

◎　事先约定

我们先做下面的约定： 　　在正方体中三面相交的块称为角，共 8 个；除了 8 个角，正方体中两面相交的块称为棱，共 12(n-2) 块；其余的块称为面块，共 6(n-2)2 块。 　　如果 n 是奇数，那么每面的第 (n+1)/2 行第 (n+1)/2 列的面块称为中心块，共 6 块。与中心块在同一行或同一列的棱称为内棱，共 12 块；其余棱称为外棱，共 12(n-3) 块。与中心块在同一行或同一列的面块称为内面块，共 12(n-3) 块；其余面块成为外面块，共 6(n-3)2 块。 　　如果 n 是偶数，所有的棱都称为外棱；所有的面块都称为外面块。 　　从 2 阶魔方到 5 阶魔方的变化是有质的变化的：2 阶魔方只有 8 个角块；3 阶魔方比 2 阶魔方多了内棱；4 阶魔方比2阶魔方多了外棱和外面块，而 4 阶魔方则没有 3 阶魔的内棱；5 阶魔方比 3 阶魔方多了外棱和面块，比 4 阶魔方多了内棱和内面块。 　　5 阶以上的 n 阶魔方比 n-2 阶魔方只是多了 4(n-3) 个面块，其余都没增加，因此可以认为 n 阶魔方和 n-2 阶魔方按上面分类的块的结构是相同的。可以这样认为：5 阶以上的魔方是 5 阶及以下魔方的量的变化而并非质的变化。因此参考5阶魔方复原方法得到下面的 n 阶魔方的复原方法。 　　下面魔方复原方法的图以5阶魔方的图为例。

◎　术语介绍

·魔方坐标定义 　　如左图所示，在魔方的正中央建立一个原点 O，过原点并且以向右为正方向建立 X 轴，过原点并且以向前为正方向建立 Y 轴，过原点并且以向上方为正方向建立 Z 轴，以魔方任一单元块的一边长度作为 1，空间的一点P的位置以 X，Y，Z 轴坐标表示为 (x,y,z)，其中 x 是 P 点到 YOZ 平面的有向距离，y 是 P 点到 ZOX 平面的有向距离，z 是 P 点到 XOY 平面的有向距离。平面 XOY、YOZ、ZOX 称为坐标轴平面，有向距离是这样规定的：从一点在某一坐标轴平面的正投影为起点，所选点为终点，如果这个方向与所平行的坐标轴平面同向，则有向距离的数值为正；如果这个方向与所平行的坐标轴平面异向，则有向距离的数值为负；有向距离的绝对值的大小与该点到坐标轴平面的距离相等。 　　我们用下面的方法建立魔方的块块与坐标的对应关系： 　1. 当魔方阶数 n 是偶数 以每一块距离原点最远的那个顶点的坐标作为该块的坐标。例如 2 阶魔方左上前角的坐标为 (-1,1,1)。 　2. 当魔方阶数 n 是奇数 　　以每一块的中心位置的坐标作为该块的坐标。例如3阶魔方顶层的中心块的坐标为 (0, 0, 1)。下面还用到取整“[]”。取整函数 [x] 的定义是小于或等于 x 的最大整数，例如 [2]=2，[2.5]=2，[-2.5]=-3，[-2]=-2。 　　前层块的 Y 坐标都等于 [n/2]，后层块的 Y 坐标都等于-[n/2]， 　　左层块的 X 坐标都等于-[n/2]，右层块的 X 坐标都等于 [n/2]， 　　顶层块的 Z 坐标都等于 [n/2]，底层块的 Z 坐标都等于-[n/2]。

函数 P(i) 　　P(i)=[n/2]-i+1 　　特别地，P(1)=[n/2]，其中 n 是魔方的阶数，1≤i≤[n/2]。

·转动术语 　　我们把魔方某一表面层（共有六个表面层）朝向自己的时候的顺时针旋转的方向定义为该面顺时针旋转的方向，把魔方某一面朝向自己的时候的逆时针旋转的方向定义为该面逆时针旋转的方向。 　　如上图示，n 阶魔方有 3n 个层。 　　现在定义以下记号： 　　从左向右数第 i 层记为 Li，L1 简记为 L；从右向左数第 i 层记为 Ri，R1 简记为 R；如果 n 是奇数，并且 i=(n+1)/2，那么 Li 层和Ri 层重合，这层称为左右夹层，简记为 M； 　　从上向下数第 i 层记为 Ui，U1 简记为 U；从下向上数第 i 层记为 Di，D1 简记为 D；如果 n 是奇数，并且 i=(n+1)/2，那么 Ui 层和Di 层重合，这层称为上下夹层，简记为 E； 　　从前向后数第 i 层记为 Fi，F1 简记为 F；从后前上数第 i 层记为 Bi，B1 简记为 B；如果 n 是奇数，并且 i=(n+1)/2，那么 Fi 层和Bi 层重合，这层称为上下夹层，简记为 S。 　　函数 P(i) 与层内块坐标的关系： 　　以下的关系中，特别要注意 i 必须满足 1≤i≤[n/2]。 　　Li 层块的X坐标都等于-P(i)，Ri 层块的X坐标都等于 P(i)，特别地 M 层（n 为奇数）块的的 X 坐标都等于 0； 　　Ui 层块的Z坐标都等于 P(i)，Di 层块的Z坐标都等于-P(i)，特别地 E 层（n 为奇数）块的的 Z 坐标都等于 0； 　　Fi 层块的Y坐标都等于 P(i)，Ri 层块的Y坐标都等于-P(i)，特别地 S 层（n 为奇数）块的的 Y 坐标都等于 0； 　　注意：为了讨论方便，在这以后，我们都规定i和j必须满足以下关系：1<i≤[n/2]，1<j≤[n/2]。 　　转动术语： Li+： Li 层顺时针旋转 90°，Li 层顺时针旋转的方向和 L 层顺时针旋转的方向相同 Li2： Li 层旋转 180° Li-： Li 层逆时针旋转 90°，Li 层逆时针旋转的方向和 L 层逆时针旋转的方向相同 Ri+： Ri 层顺时针旋转 90°，Ri 层顺时针旋转的方向和 R 层顺时针旋转的方向相同 Ri2： Ri 层旋转 180° Ri-： Ri 层逆时针旋转 90°，Ri 层逆时针旋转的方向和 R 层逆时针旋转的方向相同 M+ ： M 层顺时针旋转 90°，M 层顺时针旋转的方向和 L 层顺时针旋转的方向相同 M2 ： M 层旋转 180° M- ： M 层逆时针旋转 90°，M 层逆时针旋转的方向和 L 层逆时针旋转的方向相同 Ui+： Ui 层顺时针旋转 90°，Ui 层顺时针旋转的方向和 U 层顺时针旋转的方向相同 Ui2： Ui 层旋转 180° Ui-： Ui 层逆时针旋转 90°，Ui 层逆时针旋转的方向和 U 层逆时针旋转的方向相同 Di+： Di 层顺时针旋转 90°，Di 层顺时针旋转的方向和 D 层顺时针旋转的方向相同 Di2： Di 层旋转 180° Di-： Di 层逆时针旋转 90°，Di 层逆时针旋转的方向和 D 层逆时针旋转的方向相同 E+ ： E 层顺时针旋转 90°，E 层顺时针旋转的方向和 U 层顺时针旋转的方向相同 E2 ： E 层旋转 180° E- ： E 层逆时针旋转 90°，E 层逆时针旋转的方向和 U 层逆时针旋转的方向相同 Fi+： Fi 层顺时针旋转 90°，Fi 层顺时针旋转的方向和 F 层顺时针旋转的方向相同 Fi2： Fi 层旋转 180° Fi-： Fi 层逆时针旋转 90°，Fi 层逆时针旋转的方向和 F 层逆时针旋转的方向相同 Bi+： Bi 层顺时针旋转 90°，Bi 层顺时针旋转的方向和 B 层顺时针旋转的方向相同 Bi2： Bi 层旋转 180° Bi-： Bi 层逆时针旋转 90°，Bi 层逆时针旋转的方向和 B 层逆时针旋转的方向相同 S+ ： S 层顺时针旋转 90°，S 层顺时针旋转的方向和 F 层顺时针旋转的方向相同 S2 ： S 层旋转 180° S- ： S 层逆时针旋转 90°，S 层逆时针旋转的方向和 F 层逆时针旋转的方向相同 ※ 符号 (a,b,c)->(p,q,r) 的意思是：把坐标为 (a,b,c) 的块换到坐标为 (p,q,r) 块的位置。 ※ 符号 (a,b,c)<->(p,q,r) 的意思是：把坐标为 (a,b,c) 的块与坐标为 (p,q,r) 块对换。

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◎　一、顶层面块

我不打算介绍怎样复原顶中部，因为这个对于每个人来说都是比较直观和容易的。

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◎　二、顶层四角

这一部分是把顶层四角复原，一般熟悉魔方玩法的朋友不看这部分也没有问题。

1.上移：

F+ D+ F- R- D- R+ R- D+ R+ F+ D 2 F-

2.下移：

R- D- R+

3.旋转：

顺时针 逆时针 R- D+ R+ F+ D+ F- F+ D- F- R- D+ R+

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◎　三、顶层外棱

这一部分是把所有顶层的外棱复原，用于阶数大于 3 的魔方，一般熟悉魔方玩法的朋友不看这部分也没有问题。

1.从底层上移：

(-P(i),P(1),-P(1))->(-P(i),P(1),P(1)) (P(i),P(1),-P(1))->(P(i),P(1),P(1)) F- Di- F+ F+ Di+ F- (-P(i),P(1),-P(1))->(P(i),P(1),P(1)) (P(i),P(1),-P(1))->(-P(i),P(1),P(1)) Ri- D2 Ri+ F+ Di+ F- Li+ D2 Li- F- Di- F+

2.从中层上移：

(-P(1),P(1),-P(i))->(-P(i),P(1),P(1)) (-P(1),P(1),P(i))->(P(i),P(1),P(1)) F+ Li- F- Li+ F+ Ri+ F- Ri- (P(1),P(1),P(i))->(-P(i),P(1),P(1)) (P(1),P(1),-P(i))->(P(i),P(1),P(1)) F- Li- F+ Li+ F- Ri+ F+ Ri-

3.棱块下移：

下移棱(-P(i),P(1),P(1)) 下移棱(P(i),P(1),P(1)) Li+ D+ Li- Ri- D+ Ri+ 下移棱(P(1),P(1),P(i)) 下移棱(P(1),P(1),-P(i)) R- D+ R+ F- R+ F+ R- R- D+ R+ F- R+ F+ R-

4.两棱倒置：

倒置棱棱 (-P(i),P(1),P(1) ) 和 (P(i),P(1),P(1)) F+ Di- F- Ri- Li+ D2 Li- Ri+ F+ Di+ F-

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◎　四、顶层内棱

这一部分是把所有顶层的内棱复原，只用于奇数阶魔方，一般熟悉魔方玩法的朋友不看这部分也没有问题,它等同于三阶魔方的棱块。

1.从底层上移：

M+ D2 M- M- F+ M+ F-

2.从中层上移：

F+ M- F- M+ F- M- F+ M+

3.棱块下移：

M+ D- M- M+ D- R- D+ M- D- R+

4.两棱倒置：

M+ D2 M- D- M+ D+ M-

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◎　五、中层外棱

这部分只用于阶数大于3的魔方。

1.从底层上移：

(-P(i),P(1),-P(1)->(P(1),P(1),P(i)) (P(i),P(1),-P(1)->(P(1),P(1),-P(i)) D2 Ri- D- R- D+ Ri+ D- R+ D2 Li+ D- R- D+ Li- D- R+ (-P(i),P(1),-P(1)->(-P(1),P(1),-P(i)) (P(i),P(1),-P(1)->(-P(1),P(1),P(i)) D2 Ri- D+ L+ D- Ri+ D+ L- D2 Li+ D+ L+ D- Li- D+ L-

2.棱块下移：

下移棱 (P(1),P(1),P(i)) 下移棱 (P(1),P(1),-P(i)) Ri- D- R- D+ Ri+ D- R+ Li+ D- R- D+ Li- D- R+

3.两棱倒置：

倒置棱 (P(1),P(1),P(i)) 和 (P(1),P(1),-P(i)) Li+ D- R- D+ Li- D- R+ D- Ri- D- R- D+ Ri+ D- R+ D- Li+ D- R- D+ Li- D- R-

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◎　六、中层内棱

这部分只用于阶数大于 3 的魔方。

1.从底层上移：

D2 M+ D- R- D+ M- D- R+ D2 M+ D+ L+ D- M- D+ L-

2.棱块下移：

M- D- R- D+ M+ D- R+

3.两棱倒置：

M- D- R- D+ M+ D- R+ D- M- D- R- D+ M+ D- R+

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◎　七、底层四角

这部分相当于三阶角方块复原，所以不再详细叙述。

1.角块归位：

将底层需要交换的两角块按下图放置 F+ D- B- D+ F- D- B+ D2

2.角块对色：

转动整个魔方，使放置正确的角放在前层的左下角 R- D- R+ D- R- D2 R+ D2

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◎　八、底层外棱

这部分只用于阶数大3的魔方。下面的连续七个图案都是底层的图案，黑色的块表示用了公式后不会变动的块。

1.单个移动：

底层块的Y坐标等于P(i)或-P(i)的块移到 块(-P(i),-P(1),-P(1))的位置 （最多需要转动四次） 底层块的X坐标等于P(i)或-P(i)的块移到 块(-P(i),-P(1),-P(1))的位置 （最多需要转动两次） Li+ D- Li- D2 Li+ D- Li- Li+ D2 Li- D- Li+ D- Li- Ri- D2 Ri+ D+ Ri- D+ Ri+ 底层块的Y坐标等于P(i)或-P(i)的块移到 块(P(i),-P(1),-P(1))的位置 （最多需要转动四次） 底层块的X坐标等于P(i)或-P(i)的块移到 块(P(i),-P(1),-P(1))的位置 （最多需要转动两次） Ri- D+ Ri+ D2 Ri- D+ Ri+ Ri- D2 Ri+ D+ Ri- D+ Ri+ Li+ D2 Li- D- Li+ D- Li-

2.成对移动：

(-P(1),P(i),-P(1))<-> (P(i),-P(1),-P(1)) (-P(1),-P(i),-P(1))<-> (-P(i),-P(1),-P(1)) (-P(i),P(1),-P(1))<-> (-P(i),-P(1),-P(1)) (P(i),P(1),-P(1))<-> (P(i),-P(1),-P(1)) (P(1),P(i),-P(1))<-> (-P(i),-P(1),-P(1)) (P(1),-P(i),-P(1))<-> (P(i),-P(1),-P(1)) Ri- D+ Ri+ D2 Ri- D+ Ri+ Li+ D- Li- D2 Li+ D- Li- Li2 D2 Li2 D2 Li2 Li+ D- Li- D2 Li+ D- Li- Ri- D+ Ri+ D2 Ri- D+ Ri+

3.复原规则（具体转动公式在上面）：

两个后层外棱在正确位置 转动整个魔方，使位置正确的棱在前层，再复原后层的棱 前层和后层的外棱都在正确的位置 转动整个魔方，使位置正确的棱在左右两层，再复原剩下层的棱

4.倒置（下面的±a表示两个数：a和-a)：

情况1：倒置棱(P(1),±P(i),-P(1))和(±P(i),-P(1),-P(1)) Li+ Ri- D- Li- Ri+ D- Li+ Ri- D2 Li- Ri+ D2 Li+ Ri- D- Li- Ri+ D- Li+ Ri- D2 Li- Ri+ D2 结果：底层外棱复原 情况2：倒置棱(P(1),±P(i),-P(1))和(-P(1),±P(i),-P(1)) Li+ Ri- D- Li- Ri+ D- Li+ Ri- D2 Li- Ri+ D2 Li+ Ri- D- Li- Ri+ D- Li+ Ri- D2 Li- Ri+ D2 结果：两双邻外棱仍然倒置，回到情况1 情况3：倒置棱(P(1),±P(i),-P(1))、(±P(i),P(1),-P(1))、(±P(i),-P(1),-P(1))和(-P(1),±P(i),-P(1)) Li+ Ri- D- Li- Ri+ D- Li+ Ri- D2 Li- Ri+ D2 Li+ Ri- D- Li- Ri+ D- Li+ Ri- D2 Li- Ri+ D2 结果：两双邻外棱仍然倒置，回到情况1 情况4：倒置棱(P(1),±P(i),-P(1))、(±P(i),-P(1),-P(1))和(-P(1),±P(i),-P(1)) Li+ D- Li+ D2 Li+ D2 Li- D+ Li- Ri- D- Ri- D2 Ri- D2 Ri+ D+ Ri+ Li+ D- Li+ D2 Li+ D2 Li- D+ Li- 结果：底层外棱复原 情况5：倒置棱(P(1),±P(i),-P(1)) Li+ D- Li+ D2 Li+ D2 Li- D+ Li- Ri- D- Ri- D2 Ri- D2 Ri+ D+ Ri+ Li+ D- Li+ D2 Li+ D2 Li- D+ Li- 结果：两双邻外棱仍然倒置，回到情况1

[此贴子已经被作者于6/24/2004 11:29:56 PM编辑过]

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◎　九、底层内棱

这一部分只用于奇数阶魔方。

1.没有一个内棱在正确位置：

M+ D- M- D2 M+ D- M- 转动前 　 转动后

2.有一个棱在正确位置：

顺时针 逆时针 M+ D+ M- D2 M+ D+ M- M+ D- M- D2 M+ D- M-

3.倒置：

情况1：倒置右、后层两邻内棱 M+ D- M- D- M+ D2 M- D2 M+ D- M- D- M+ D2 M- D2 结果：底层外棱复原 情况2：倒置前后层两对内棱 M+ D- M- D- M+ D2 M- D2 M+ D- M- D- M+ D2 M- D2 结果：两双邻外棱仍然倒置，回到情况1 情况3：倒置四内棱 M+ D- M- D- M+ D2 M- D2 M+ D- M- D- M+ D2 M- D2 结果：两双邻外棱仍然倒置，回到情况1

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