Skewb 中的一些理论问题

sokoban

对于每种魔方，下面几个基本问题都是可以问的。

1，如何判断一种状态是否可以实现？
2，总状态数是多少？
3，若把魔方拆了随机装回，能复原的概率是多少？（这个问题和结构有关）
等等。。。。

对于普通六轴三阶魔方，这些问题大家讨论得比较多了。

对于skewb，当然也是早已被讨论过的，但是我搜索了一下，发现我们的理论版好像还没有关于skewb的文章，所以就发个贴讨论讨论。

对于每种魔方，都思考一下以上的问题，也是一种乐趣。感兴趣的魔友，最好自己独立地思考一下。如果对普通6轴3阶魔方的这几个问题弄清楚了，对skewb来说，就是一个触类旁通的事情了。有skewb的朋友最好都思考一下，我发现一边摆弄魔方，一边思考其中的一些问题，的确是挺有意思的。





skewb一共有八个角块，六个中心。

八个角块有分为两组，每组四个。一组是和轴固定的，另外一组可以动。所有角块都有方向问题，每个角块有三个方向。而中心块则只有位置不同。

所以，如果我们以固定的四个角块为参照系（就像普通六轴三阶魔方的中心块是不动的一样），那么其余四个的位置有4!种可能，所有八个角块有3个方向，所以乘与3^8。中心块的位置有 6! 种可能。所以最多有

4!* 6!*3^8

种状态。

但是其中有些状态是不能够达到的。这些不可能出现的状态是由skewb的转法所决定的。

首先，相对于固定的四个角块，自由的四个角块的位置一定是偶置换。所以要除以2。

其次，角块的方向不是独立的。不过，skewb的角块方向和6轴3阶的角块方向有不同的规律。在6轴3阶魔方中，若用0，+1，-1分别表示角块当前的位置是正确，顺时针120度或者逆时针120度。则8个角块的方向数之和为0 (模3意义下，以下同)。换句话说，就是其中七个角块的方向是自由的，剩下一个由前七个的方向唯一决定。

对于skewb，我们类似地定义方向数，八个角块的方向数记为a1,a2, .... a8，对应于下图：




对于skewb，一般来说，所有角块方向数之和并不等于零。若八个角块全部归位，且1、2、3、4色向正确时，
5的色向决定7的色向，6的色向决定8的色向。

有这些限制，所以这里要除以9=3*3 （相当于真正独立的角块是6个，此时7、8号角块色向依赖5、6号）

具体的说，就是八个角块的相对位置正确时，必须有

a2+a4+a5+a7=0
a1+a3+a6+a8=0


最后，中心块相对于角块要是偶置换，所以又除以2。

综上所述，真正的状态数是：

4!* 6!*3^8 / (2*9*2)=3149280

同时，我们也说明了，拆开随意重装能还原的概率是1/36。

[ 本帖最后由 sokoban 于 2008-12-23 16:58 编辑 ]

kexin_xiao

刚给女儿买了这个，和LZ学习一下

roja0828

有钱人
我看不懂啊

木瓜

我没买了，坐上板凳提前学

lynn818

看不懂~~~以后买了再来学~

大烟头

很高兴能看到这样的贴子。

  我觉得研究理论与解法，应该从结构上下手，这结构不是指魔方的内部结构，而是指魔方旋转变化时各种块的变化构造，如魔方外观形状上中块角块与结构意义上的中块角块不一定是一样的。研究分析出旋转结构上的中块、棱块、角块，这样研究理论或解法就很容易了。

  首先要分析魔方有几个块，几个簇，几轴的，这个十分重要。然后找出簇内最小变化与簇间关联的最小变化，最后综合分析下，这魔方的理论就出来了。

  可以看出，skewb魔方有心、棱、角三个簇（如普通六轴三阶魔方的12个棱块组成一个簇，为“棱块簇”，棱块所在的位置称为“棱簇穴”，棱块只能在棱簇穴时产生位置变化，棱块是不可能跑到“角簇穴”或“心簇穴”去的，这是大家都知道的常识了）。

1、块数与簇的分析：

三角形的块（周围有三个旋转面）有8个，是分属两个簇，这两个簇变化规律是一样的，可以任选一个作为“中块簇”，另一个就是“角块簇”了。
四角形的块（周围有四个旋转面）有6个，为魔方结构意义上的“棱块簇”。

2、簇内变化：

中块色向：中块色向有三个向，符合夸克现象，当一个中块顺时针色向变化时，另一中块会逆时色向变化。
角块色向：角块色向有三个向，也符合夸克现象，当一个角块顺时针色向变化时，另一角块会逆时色向变化。


角块位置：成对对换，角块只有四个块，成对对换后相对位置是不变的，但以中块为参照时，这块是有位置变化的。skewb魔方角块的簇内最小的位置变化不是三置换！
棱块色向：棱块色向有两个向，当一个棱块色向变化180度时，另一棱块也会色向变化180度。（这个在skewb六面体上是看不出来的）





棱块位置：三棱块位置变化。





3、簇间变化（非同簇的扰动现象）：

棱块是不参与簇间变化！
角块位置三置换后，必然有一中块色向产生变化！



（中块色向符合夸克现象时为非扰动状态，中块处于扰动状态时有正向与逆向之分，所以skewb的非扰动状态占总状态数的三份之一）

4、计算总状态数：

原理：算出各簇块非扰动状态时的状态数，然后把它们的乘积再乘3

以中块为参照点，计算各簇的簇内变化总状态：
中块位置：1
中块色向：3*3*3
角块位置：4
角块色向：3*3*3
棱块位置：6*5*4*3
棱块色向：在六面体上显无色向（如果贴色成有色向的：2*2*2*2*2）

skewb六面体的总状态数为： （3*3*3）*4* （3*3*3）*（6*5*4*3）*3＝3149280

各种魔方的总状态数见：http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=354&highlight=%B8%F7%D6%D6%2B%B4%F3%D1%CC%CD%B7

这网站里面有各种魔方的档案
http://home.comcast.net/~stegmann/rearrangement.htm

四轴球解法说明书：
http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=1097&extra=page%3D1

[ 本帖最后由 大烟头 于 2008-12-9 17:56 编辑 ]

sokoban

烟头兄的观点令我耳目一新。我这才发现skewb和所谓的 Meier-Halpern Pyramid 是一样的。只是skewb 棱块无色向，中心块有色向，Meier-Halpern Pyramid 则相反。

大烟头

四轴三阶魔方同构异形分析：

sokoban

其他四个是同构异形都知道，就是没想到这个正四面体也和它们同构异形，而且这种正四面体除了DIY外，很少见啊。

[ 本帖最后由 sokoban 于 2008-12-9 21:50 编辑 ]

ZJY

原本还以为SKEWB很简单，原来有这么多理论