发一个最难的问题

yang_bigarm

鉴于本版高人挺多，我以前发的每一个问题都被人在2天以内攻克，此次特发一个有史以来最难的问题，
如果这个问题你以前见过，那就别吭声；如果没有见过而你又能把它攻克，那我以后也没什么
问题值得出的了。

----------------------------------------problem-------------------------------------------------
对于正整数a,b，如果
        a^2 + b^2
c= ----------------也是整数的话，那么证明，c是一个完全平方数。
        1 + a * b

------------------------------------------END----------------------------------------------------

例如
a=1, b=1, c=1
a=2, b=8, c=4
a=3, b=27, c=9
a=8, b=30, c=4
a=4, b=64, c=16
a=30, b=112, c=4
a=5, b=125, c=25

mo方。

无聊锕你。！

kexin_xiao

来学习的.看大家解答

V_figo

我预感两天内攻克 ,强烈地预感

Cielo

应该是初等数论里面的问题吧，也许以前竞赛时见过，记不起来了……先想想吧！

lulijie

我来谈谈我的思路：
假设 a 和 b  的最大公约数是k，（若互质，那么k=1）。
      那么 a=k*m  ， b=k*n 。
那么原式变成。
     c=k^2 * (m^2+n^2)/ (1+k^2*m*n)  。
若能从 c是整数 证明   (m^2+n^2)  必须等于    (1+k^2*m*n)  ，
那么  c=k^2 ，命题就得证。
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因为  k^2  肯定与   (1+k^2*m*n)  互质 ，所以 C是整数可推出  (m^2+n^2)/ (1+k^2*m*n) 是整数。
若能从   (m^2+n^2)/ (1+k^2*m*n) 是整数 ，推导出   (m^2+n^2)  必须等于    (1+k^2*m*n) ，那么命题得证。

lulijie

       m和n是互质的两个整数，k是整数，
          如果  (m^2+n^2)/ (1+k^2*m*n) 是整数 ，
           那么  m^2+n^2  等于 1+k^2*m*n。
--------------------------------------------------------------
如果上述论断能证明正确，那么楼主的命题就得到证明。

lulijie

以下都是a、b、c的解：
    a=1 ，b=1 ， c=1
    a=30 ，b=112 ， c=4
    a=k^3 ， b=k*(k^4-1)，c=k^2   （ k>=2）
    a=k ， b=k^3 ，c=k^2               （ k>=2）

金眼睛

若a=b，a>1时1<c<2，故a=1，则b=1， c=1。


若a不等于b，设m为ab中较大的一个，n为ab中较小的一个。
对原式进行整理得：m^2+n*c*m+n^2-c=0
方程的解用m，n表示为：m1=m；m2=(n^3-m)/(1+m*n)。


所以看LZ给出的例子，n^3等于m时，m2=0，带到原式c=n^2，自然满足。


因为m，n，c均为正整数，m1+m2=n*c也是正整数，m2也是正整数。
m1*m2=n^2-c<n^2，所以m2必小于n。也就是以较小的m2可以推出较大的m1。
初始情况取任意自然数N作为数列的第一项，N^3为数列第二项，递推下去可以形成一个数列，则m，n在数列中相邻位置取值，c不变，为N的平方。


如LZ的例子，2，8，30，112……
那么所有的解都应该在第一个数为1~N形成的这样的数列里，c都是完全平方数。

Cielo

原帖由 金眼睛 于 2009-4-4 11:40 发表
若a=b，a>1时1<c<2，故a=1，则b=1， c=1。

若a不等于b，设m为ab中较大的一个，n为ab中较小的一个。
对原式进行整理得：m^2+n*c*m+n^2-c=0
方程的解用m，n表示为：m1=m；m2=(n^3-m)/(1+m*n)。

rrdw：上面说的方程是哪一个啊？