习题集（答案已汇总）

Osullivan

一周内不发题了，今天来个汇总~~~~~~~~
大家一起参与参与哈~~~~~~~
看到多少楼题目全部解出~~~~~~~


1 有若干个非0自然数，它们的平均数为11。去掉一个最大数后，平均数变为了10；去掉一个最小数后，平均数变为了12。这些数最多有多少个？（小学奥数）
把题目扩展下“n个数的平均数为k”，“去掉最大数后平均数减少了1”，“去掉最小数后平均数增加了1”，问n最大是多少。


2 在一个有限项的实数序列中，任意的相连七项之和为负，任意的相连十一项之和为正。求出这种序列最多有几项。


3 M是由1985个不同正整数组成的集合，其中每个元素的素因子都不大于26  求证：从M中肯定可以找到4个数，他们的乘积为，某整数的4次方。（已更正！）



4 平面上任意三角形ABC和异于A、B、C三点的点P。X、Y、Z三点分别是P点关于三边BC、AC、AB的中点的对称点。求证：AX、BY、CZ共点。





5 证明：如果两个正方形S1和S2包容于单位正方形中，它们没有公共点，则它们的边长之和小于1











6 求证：如果一个矩形可以分割为若干个小矩形，每个小矩形都有至少一边为整数长，则原矩形同样有至少一个长度为整数的边。（吧里是否有过这题？）

7  定义f(n)的值为将自然数n拆分成若干个2的幂的和，且其中每个数字出现的次数不会超过两次的方案数。规定f(0)=1。
    例如，有5种合法的方案可以拆分数字10：1+1+8, 1+1+4+4, 1+1+2+2+4, 2+4+4 和 2+8。因此，f(10)=5。
    请用一句最简单的话来描述集合{ f(n)/f(n-1) }。证明你的结论。（亦即指出该集合里的元素特征规律，并证明之）






PS：附注一爱心函数图，娱乐一下~~~~~~~
    网上找到还真不容易~~~~~~~~


(x^2 + (9/4)y^2 + z^2 - 1)^3 - x^2z^3 - (9/80)y^2z^3 == 0。


Mathematica绘图如下




[ 本帖最后由 Osullivan 于 2009-7-9 22:12 编辑 ]

Osullivan

占楼备用答案汇总~~~~~~~~~~~

解答：
1 k（简单，证略）

2 由superacid提供
  第2题首先17是不对的，如果存在这样的17个数，设为a,b,...,q，则
a+b+c+d+e+f+g<0
b+c+d+e+f+g+h<0
.............................
.............................
k+l+m+n+o+p+q<0
而将上面11个式子竖着加，得到
(a+b+c+...+k)+(b+c+d+...+l)+...+(g+h+i+...+q)<0
而括号中的每一项都大于0，矛盾。
下面是16的例子：
5,5,-13,5,5,5,-13,5,5,-13,5,5,5,-13,5,5

3 由superacid提供
小于26的质数有9个，把1985个数每一个都分解质因数。
由抽屉原理，在2^9+1=513个数中，必有两个数的积为完全平方数，
然后取出这两个数，重复以上操作可以得到737个完全平方数，
再由抽屉原理，必有两个完全平方数的积为一个整数的4次方

4由noski提供
平行六面体的三条体对角线必交于一点。



另解：由lulijie提供

CX 平行等于PB
AZ平行等于PB
所以AZ平行等于CX，所以AX与CZ相交于各自的中点，
同理，AX与BY也相交于各自的中点，
所以AX、CZ、BY相交于一点。

5 由noski提供


1. 如果两个小正方形是靠边放置的，那么如图那样放在两个对角上，可以看出其边长之和要小于1；
2. 如果一个正方形靠边，放在一个角上，另一个任意倾斜，如图1红色，也易证两个正方形都靠边才是最优情况，这又回到情况1；
3. 如果两个正方形都倾斜，就类似乎于图2的情况，证明黑色方块和红色方块哪个大的问题，可证得，黑色的方块更大一些，所以固定一个黑色的方块在角上，这又回到情况2。

6 由superacid提供

用数学归纳法：显然将一个矩形切成3块是肯定满足条件的。
假设切成n≤k块都满足条件，考虑切成k+1块的情况。
显然每一个小矩形的边都平行或垂直于大矩形的边，不妨设大矩形的边平行或垂直于x轴,y轴。
是某一个小矩形为[a,b]×[c,d]，b-a为有理数，则将大矩形的所有x∈[a,b]都切去
注意：原来的小矩形边是有理数的现在还是有理数，原来是无理数的现在还是无理数
切去后的大矩形就变成了1或2块矩形，每块含有的小矩形数≤k。
由归纳假设即得证。

7 由superacid提供

显然有f(2n+2)=f(n)+f(n+1),f(2n+1)=f(n)，貌似那个集合就是全体正有理数集。
f(2n)/f(2n-1)=1+f(n)/f(n-1)，f(2n)/f(2n+1)=1+f(n-1)/f(n)
下面证明每一个正有理数p/q(p,q互质)都在集合内：
若p>q，则p/q必为f(2k)/f(2k-1)=1+f(k)/f(k-1)，也就是说p/q与(p-q)/q同时在集合内或同时不在集合内。
若p<q，则p/q必为f(2k+1)/f(2k)=1/(1+f(k-1)/f(k))，也就是说p/q与(q-p)/p同时在集合内或同时不在集合内。
用这样的无穷递降法，必能得到p/q与1/2或2/1同时在集合内或同时不在集合内。
又f(2)/f(1)=2/1,f(3)/f(2)=1/2，所以1/2,2/1在集合内，所以所有正有理数在集合内


对以上作出解答的朋友表示感谢！！！
同时感谢其他参与的朋友~~~~~~~~

[ 本帖最后由 Osullivan 于 2009-7-9 20:12 编辑 ]

Cielo

原帖由 Osullivan 于 2009-7-7 15:19 发表
3 集合M由 1985个不同的正整数组成，且每个数都有一个大于23的素因子，求证M中存在4个元素的积是某个整数的4次方。 ...

如果是1985个不同的素数呢？

骰迷

第一題比較簡單，原題Ｎ為十。
“去掉最大数后平均数减少了1”並無意義，解題關鍵為＂去掉最小数后平均数增加了1＂和＂非0自然数＂兩個條件影響Ｎ。
Ｎ個自然數中，最少的數為：Ｋ－Ｎ，即一
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
唉。。竟然忘記了拿掉最小數後，總數只有Ｎ－１。。。真失敗

[ 本帖最后由 骰迷 于 2009-7-7 19:53 编辑 ]

骰迷

ＬＳＳ，我也這麼想，素數無窮多，題真能證明麼？

骰迷

第二題，我直覺覺得是１３。
１　１　１　１　１　１　－９　１　１　１　１　１　１
應有更好方法。

superacid

第1题的答案是k，证明略
第2题首先17是不对的，如果存在这样的17个数，设为a,b,...,q，则
a+b+c+d+e+f+g<0
b+c+d+e+f+g+h<0
.............................
.............................
k+l+m+n+o+p+q<0
而将上面11个式子竖着加，得到
(a+b+c+...+k)+(b+c+d+...+l)+...+(g+h+i+...+q)<0
而括号中的每一项都大于0，矛盾。
下面是16的例子：
5,5,-13,5,5,5,-13,5,5,-13,5,5,5,-13,5,5

[ 本帖最后由 superacid 于 2009-7-8 11:15 编辑 ]

noski

第一题我算出n最大是11
扩展之后的n最大是k
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第二题是16
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第三题
在[2，26]区间上有9个素数，抽屉原理。
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第四题
平行六面体的三条体对角线必交于一点。






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PS: superacid做题真快：）

[ 本帖最后由 noski 于 2009-7-7 20:05 编辑 ]

Osullivan

原帖由 superacid 于 2009-7-7 17:38 发表
第3题是否有误？
每个数都有一个大于23的素因子？？
每个数的大于23的素因子都不相同怎么办？

原题目已更正，到IMO官网上找到原题了！

[ 本帖最后由 Osullivan 于 2009-7-7 18:50 编辑 ]

superacid

退役以后颓废了，平面几何不会做了，所以就猥琐了一下。