魔方与24

大烟头

　　我这里讲的魔方是中块带有标记的三阶魔方

　　每个人都知道，它有6个中块、8个角块、12个棱块。魔方的变化是由块之间的交换、与块自身的扭转组成的。在块的交换来讲，棱块变化最多，角块次之，中块不存在交换。但在块的原位扭转来讲，中块有4种、角块有3种、棱块有2种。

　　现在就可发现一个很奇怪的现象了：对于一个魔方来讲，三种块自身的扭转变化总和是一样的。中块是6×4＝24、角块是8×3＝24、棱块是12×2＝24。这是巧合？还是魔方本身就与数学有连系呢？

cube_master

呵呵，你真是很细心，我也期待着有人能解释！

andant

我觉得应该是魔方本身具有的数学特点，什么原理就不清楚了

yumin598

若事物A有A1、A2两个，每个有状态0和1，则组合总数为2²＝4，即00，01，10，11。
若A有3个，每个有0、1两态，则组合总数为2³＝8，即000，001，010，011，100，101，110，111。等等。
这样，12个棱块色向的变化总数为2¹²＝4096，不包括棱块位置的变化数。
但是，这4096中还要扣除转魔方时的转不出的情况，因为转魔方时翻色的棱块数必定是偶数。故棱的色向变化总数只有4096的一半，为2048。
对于角块色向变化、中块的自转变化，也要作类似考虑和类似纠正。角块色向变化数：3⁸ / 3＝2187。中心块自转变化数：4⁶ / 2＝2048。

至于1楼说的三种数都是24，又是另一种含义。

[ 本帖最后由 乌木 于 2010-5-12 17:02 编辑 ]

yumin598

接着说。与数学有关的恐怕不在于“三个乘积都等于24”，因为在这样分割的魔方中，心块、角块、棱块各自的原地取向只能是4、3、2，问题是这魔方的面数（f）、顶点数(v)、棱数(e)符合“欧拉多面体定理”——v+f-e=2。所有的凸多面体都符合该定理。例如四面体、八面体、十二面体、二十面体都这样。六面体的传统魔方来说，8＋6－12＝2。但魔方的分割法变了以后，例如异形魔方（square-1)形状复原为立方体时，仍符合欧拉定理，但就没有“三个24”了！它的角块数仍为8，边块数＝？心块数＝？只有一个24了。                     
不过，若一种魔方其分割法能像传统魔方那样，可在欧拉定理基础上得出三个定数，则不妨把它们归属为一类，给个恰当的名字。比如，三阶的四面体魔方中，角数4x3＝棱数6x2＝特殊心块数4x3＝12，哇！“三个12”！ 魔方吧图片中的12面体魔方（北大姜伯驹院士有一个！） 中，角20 x3＝棱30x2＝心12x5＝60，哈！“三个60”！愿欧拉在天之灵安息！
所以，“三个24”的数学意义应该如上所述。是不是这样？愿请数学家指点。

[ 本帖最后由 乌木 于 2010-5-12 17:12 编辑 ]

大烟头

有意思!

yumin598

昨天说到异形魔方（square-1）时，有点问题，现补正一下。它没有翻角和翻边的要求，非立方体的各块也不可能翻，故谈不上乘以3和乘以2了，即连一个24都没有。
异形魔方有个“公开的秘密”：严格说，它不是立方体！形状复原时，上下两个有斜缝的面是正方形，即六面体的长和宽一样，；但 它的高比长（宽）稍大，和上下面中的斜缝等长。斜缝当然比长（宽）长。这么设计应该是（另一种玩法）做种种怪异立体造型的需要，以免出现不协调的接缝。     可谓独具匠心！
顺便报告，异形魔方可能有的形状混乱初态一共只有89对。它们的复原路线，一步一步我都用图画出来了。直观，不必列公式的。（请见：http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=890&extra=page%3D2）

[ 本帖最后由 乌木 于 2010-5-12 17:20 编辑 ]

cube_master

yumin598 朋友，如果你愿意，可将你的还原方法传给我，我帮你整理帖到论坛。

我的电邮：cube_master@163.com

[此贴子已经被作者于2005-2-5 11:06:49编辑过]

yumin598

“Master”：拜托了！我这就把已改好的一篇“异形魔方复原法”发给您。
啊！玩了多年智力玩具，除了我的一个弟弟外，竟然无人可对话。发现了“魔方吧”，有人可讨教，有地方“说话”了！廿几年前沪上刚出现魔方时，卖魔方店门口人头攒动。东一堆，西一堆，当街交流起来。难怪，时过境迁么！

[ 本帖最后由 乌木 于 2010-5-12 17:24 编辑 ]

大烟头

廿几年前的魔方真让人怀念啊!我一直想收藏一个，可惜无处可觅。。。。。。。。。。。[em06]