鞋匠的刀难题

yang_bigarm

这是一个古老而经典的几何学难题，如图所示，有一个大圆A，内部有一个和它内切的圆B，在AB圆心连线的上做小圆C1同时与A、B相切。
再做C2与C1，A，B相切，做C3与C2，A，B相切。。。。。。
这个图的上半部分包括一连串相切的小圆，被称为鞋匠的刀。
证明：
1、C1，C2，C3，。。。Cn的切点都在同一个圆上（虚线部分）
2、设Cn半径为Rn，则从Cn圆心到AB圆心连线的垂直距离恰好是  2n*Rn

实在不好意思,图画得有点问题了.图中的C1应该为C0,C2应该C1为,C3,C4...以此来推.

[ 本帖最后由 yang_bigarm 于 2009-8-12 11:33 编辑 ]

superacid

死算吧

lanet

不很难的样子
第二问好像不对吧？当N＝1时

yang_bigarm

原帖由 lanet 于 2009-8-12 09:33 发表
不很难的样子
第二问好像不对吧？当N＝1时

这个题目的难度到底如何,要自己动手算了才知道啊!
解析几何的方法自然就是死算啦,但是最早提出这个问题的人
希望看到的是精巧的证明.

实在不好意思,3个圆相切的图不是那么好画的,我调了好久才成这个样子,没想到的是
其中还是有疏漏,图上的C1应该为C0,C2应该为C1,以此类推.
这样当N=1的时候, L=0*R0=0,这就对了.

lulijie

建立直角坐标系：
小圆方程：(x-r)^2+y^2=r^2            圆心坐标  (r,0) ,半径r
大圆方程：(x-R)^2+y^2=R^2          圆心坐标  (R，0) ,半径R
C0方程：  (x-R-r)^2+y^2=(R-r)^2   圆心坐标  (R+r,0) ,半径R-r
-----------------------------------------
设Cn的圆心坐标为(x(n),y(n)),半径为r(n)  
    那么       r(n)=Rr(R-r)/(n^2(R-r)^2+Rr)
                  x(n)= Rr (R+r)/(n^2(R-r)^2+Rr)  =(R+r)/(R-r) * r(n)
                  y(n)=2nRr(R-r)/(n^2(R-r)^2+Rr)  =2n*r(n)
                  可用数学归纳法证明上述式子成立。
-----------------------------------------------
当n=1时，根据两个圆相外切时的条件，两个圆的圆心的距离=两个圆半径之和
                       两个圆相内切时的条件，两个圆的圆心的距离=两个圆半径之差。
           得    (x(1)-r)^2+y(1)^2=(r+r(n))^2
                  (x(1)-R)^2+y(1)^2=(R-r(n))^2
                  (x(1)-r-R)^2+y(1)^2=(R-r+r(n))^2
        解上述3个方程组可得  x(1)=(R+r) Rr/((R-r)^2+Rr)
                                           y(1)=2Rr(R-r)/((R-r)^2+Rr)
                                          r(1)=Rr(R-r)/((R-r)^2+Rr)
   当n=1时，上述一般公式成立。
假设n=k时，上述一般公式成立，只要证明n=k+1也成立即可。
               根据Ck+1与小圆、大圆、Ck相切得
                   (x(k+1)-r)^2+y(k+1)^2=(r+r(k+1))^2
                  (x(k+1)-R)^2+y(k+1)^2=(R-r(k+1))^2
                  (x(k+1)-x(k))^2+(y(k+1)-y(k))^2=(r(k+1)+r(k))^2
   将          r(k)=Rr(R-r)/(k^2(R-r)^2+Rr)
                  x(k)= Rr (R+r)/(k^2(R-r)^2+Rr)  =(R+r)/(R-r) * r(k)
                  y(k)=2kRr(R-r)/(k^2(R-r)^2+Rr)  =2k*r(k)
代入上式，证明 r(k+1)、x(k+1)、y(k+1)也成立即可。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-8-12 23:49 编辑 ]

yang_bigarm

用解析几何的方法，当然可以算出来啦，但是楼上算了那么多，实际上还没有写完呢。
第一问所需要解的方程恐怕更家繁琐吧。
有没有巧妙的方法呢？或者说几何一点的方法。

还有就是第个一问还没有做出来呢。

[ 本帖最后由 yang_bigarm 于 2009-8-13 08:32 编辑 ]

phileas

这个题用反演做是很简单的。

以圆A和圆B的切点O为中心，任取一个长度r，作反演。圆A和圆B反演成两条平行的直线，所有Ci反演成圆。
由于Ci和A，Ci和B，相邻的两个Ci都相切，那么所有Ci反演以后的圆就是夹在两条平行直线间的一列半径相同的圆。
这些圆的切点显然在一条直线上，而且和先前说的两条直线平行。那么在做反演之前，这些切点必然共圆。（结论1）

假设圆Cn反演成圆Gn。它们的圆心OCn和OGn，与O必然共线。假设该直线与Cn交于Cna和Cnb，与Gn交于Gna和Gnb。注意所有的Gn的半径都是相同的，记为rg。
根据反演的定义，OCna * OGnb = r平方 = OGna * OCnb，而OCnb = OCna + 2rn，OGnb = OGna + 2rg。
所以 (OCna + 2rn) / (OGna + 2rg) = OCna / OGna，稍微变换一下形式，得到：(OCna + rn) / (OGna + rg) = rn / rg

从Gn圆心向AB圆心连线作垂线，根据明显的相似三角形，有Ln / (2n * rg) = (OCna + rn) / (OGna + rg) = rn / rg
所以 Ln = 2n * rn （结论2）

lulijie

楼上的解法：就是   阿波罗尼奥斯问题的反演变换解法。

yang_bigarm

原帖由 phileas 于 2009-8-14 11:58 发表
这个题用反演做是很简单的。

very good，一击命中要害！！！

反演更一般地称作墨比乌斯变换，跟这个帖子前后一起，我一共出了3个几何问题：
托勒密定理，鞋匠的刀，对角线垂直的四边形。还有一个斯坦纳的珍珠，图没有来
得及画，以后等我这个帖沉底了再发出来，留给没有看过的朋友。

这些问题都是我最近看《复变函数》的时候，在墨比乌斯变换这一章节中遇到的，
用这种变换，原来的竞赛题，答案都变得显而易见了。

在高等数学的观点下，很多初等数学里的难题都可以变得让常人能够理解，这
也就是高等数学存在的意义，并不是一帮人吃饱了饭没事干想出来的东西。

从另一个角度来看，竞赛所出的题目，要有高等数学的背景，通过题目去学到
新的知识，培养对数学的兴趣，这样才能称作好的问题，这也是IMO的宗旨所在；
而不是一味地追求难题，那个叫做整人。

我在mf8里所出的题目，大都都是我在各种书上看到的觉得“好”的问题，好的定义
如上所述，就是题目包含有一定的背景知识，从解题中或者看别人的解法中领悟新的东西。

superacid

非常支持yang_bigarm，出题很有深度。