三阶纯色所有块不在原位的状态数是多少？

pengw

三阶纯色所有块不在原位的状态数是多少？

乌木

如果用你给出的n个块都不在原位的排列数公式（http://bbs.mf8-china.com/viewthread ... tra=page%3D1&page=2 的11楼）可以得到
8个角块都不在原位的排列数为14833；12个棱块都不在原位的排列数为176214841。（后者没算错吧？）
两者组合时不能直接相乘吧？即不能说本帖题目的答案为14833×176214841，对吗？
要扰动态角块搭配扰动态棱块，非扰动态角块搭配非扰动态棱块，对吗？如何知道14833之中有多少扰动态，176214841之中有多少扰动态呢？
既然所有角块都不在原位，所有棱块也都不在原位，魔方又没有变形、散架，角块和棱块各自只能是形成位置循环，而且在本题条件下没有不参加循环的角块和棱块。满足本题条件的循环有大有小，两个簇的循环数有多有少。如何找出奇数个偶循环的角块态，搭配找出的奇数个偶循环的棱块态；余下的角块态只能和余下的棱块态组合。两个乘积相加就是本题答案。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-8-31 17:43 编辑 ]

pengw

乌木前辈看穿了问题关键所在，即不可能忽视N阶定律的存在。即然都不在原位，则所有块都在环中，到底那些排列是偶数个偶环，那些排列是奇数个偶环，如何计算，这就是问题的关键，希望看到一个算法。

Simpler

高手讨论帖就是牛…………魔方理论研究过 可惜我是文科……数学不好……

乌木

数目少的话，还可以人工摸索，但后来数目太大，人工弄容易出错，还得哪位用电脑算。我的思路这样，供编程者参考。
以下涉及的数据参看http://bbs.mf8-china.com/viewthr ... &extra=page%3D1 的8楼xpboy的计算结果。
8个角块的位置变化数为8！＝40320，其中一半是扰动态，另一半是非扰动态（对吧？），但8个角块都不在原位的数目14833就不见得是一半一半，何况它是个奇数。那就来个“倒轧账”试试－－看看40320－14833＝25487个态中有多少扰动态，多少非扰动态？
1、8角都在原位，1个态，非扰动。非扰动态累计1，扰动态累计0。
2、6角在原位，2角不在，1×28＝28态，显然都是扰动态。非扰累计1，扰动累计28。
3、5在，3不在，2×56＝112，显然都是非扰。非扰累计113，扰动累计28。
4、4在，4不在，9×70＝630，人工不难排出：4！＝24，其中9种为4个角块都不在原位的；9种之中，6种为各种4元环，扰动态，6×70＝420；3种为各种两个二元环，非扰动，3×70＝210。故非扰累计323，扰动累计448。
5、3在，5不在，44×56＝2464。5！＝120，已经不宜人工排摸了，从120个排列中挑出44个，再查看这44态各自的扰动非扰动，分别乘以56后，算扰动非扰动的累计数。
6、和7、查算2角在原位、6角不在原位和1角在原位、7角不在原位的情况，方法类推，但只能交电脑算了。
有了25487个态的扰动非扰动的统计数，又知道40320是一半一半扰动非扰动，就可以知道8个角块都不在原位的数目14833中扰动态数和非扰动态数了。
这样想可以吗？
如果没错，接下来，对数目更大的棱块的查算，方法应该一样吧？大概电脑不怕的吧？
这样，本帖答案可以算得了吧？
真是有点“无事忙”啊！

jxf1991

刚才尝试了下继续乌木老师的算法。。结果发现算的状态数不足。。不过积累了一些经验。。现在我试试直接计算的方法：
8=6+2=5+3=4+4=4+2+2=3+3+2=2+2+2+2
需要注意的是，上面出现的5，必定是5个角块进行大循环，而不能是一个三循环和一个二循环的组合。
8：7！=5040
6+2：C82*5！=3360
5+3：C83*4!*2!=2688
4+4：C84*3！*3！/2！=1260
4+2+2：C84*C42*3!/2！=1260
3+3+2：C83*C53*2！*2！/2！=1120
2+2+2+2：C82*C62*C42/4！=105
其中扰动态共5040+1260+1120=7420
非扰动态共3360+2688+1260+105=7413

jxf1991

终于算对了。。第一次想补充乌木老师的间接法。。结果算错了。。不过感觉其实直接法更简单。。所以改直接法。。算着算着想明白错在哪里了。。我居然把三循环想成只有一种情况了。。事实上是有两种的。。这样很多地方少乘了2.。。。难怪结果算错。。。

然后继续直接法。。。算出来以后发现情况总数只9000多种。。。傻了。。。。看了半天终于发现了。。。8个角块大循环没有算。。。我倒。。。好在最后还是算对了。。今天白天要在学校干活。。。棱块状态只好晚上再算了。。

pengw

遵从N阶定律约束，从环类型搭配的角度去计算正是我的意思，且计算相对简单，但是，算法似乎还有问题

[ 本帖最后由 pengw 于 2009-9-1 09:15 编辑 ]

pengw

4+4：C84*3！*3！/2！=1260
4+2+2：C84*C42*3!/2！=1260
3+3+2：C83*C53*2！*2！/2！=1120
2+2+2+2：C82*C62*C42/4！=105

以上四式为什么要除2！或除外4！，以下二式为何无除式

6+2：C82*5！=3360
5+3：C83*4!*2!=2688


六个算式原理应该完全一样，即：选择构造环的块c(n,a)，同样的块能构造多少同类型的环(a-1)!,除是基于何种考虑？如果仅仅只是争对二阶去消同态，至少乌木的计算值没有消同态，可能解释一下你的算法原理否。

[ 本帖最后由 pengw 于 2009-9-1 09:25 编辑 ]

jxf1991

对于为何除以2!以及4！，我举一个简单的例子：

2个苹果分成两堆有几种分法？毫无疑问是一种。。可是如果运用排列组合，列出的式子却是C21*C11=2.。
这就是所谓的平均分堆问题，在这种需要分成相同数量的N堆的问题中，因为会出现重复情况，所以要将结果再除以N!

再以两个苹果的问题为例：假设两个苹果是A和B，那么运用排列组合之所以会得出2，是因为排列组合将第一堆A，第二堆B和第一堆B，第二堆A分成了两种情况。因此要将总情况数除以2（即2！）

不知忍大师能否明白我这粗陋的解释。。