♥ ？共几种不同涂法：用三色涂正方体8顶点

HeyShawn

给正方体的8个顶点涂红色、黄色或蓝色，
经翻转或旋转后若相同则看作同一种情形，
请问共有几种不同的涂法？

superacid

这可以用群论的思想解决，参见《奥赛经典》

乌木

1楼题目是不是指，用三种颜色涂8个点子，每种颜色无论出现几次，从0次到8次都允许？

superacid

应该是吧

乌木

那么，是不是8位的三进制数问题？每一位的变化为0、1、2，逢“三”进位，比如 00000010_（3）就是十进制的3，00000020_（3）就是十进制的6，等等。对吗？

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-11-23 19:27 编辑 ]

superacid

不是，因为要考虑到对称的图形只算一种

superacid

可以搜索一下Polya计数法

superacid

CtrlA

(8×3^1+28×3^2+16×3^3+24×3^4+8×3^6)÷(8+28+16+24+8)=101

ggglgq

原帖由 HeyShawn 于 2009-11-23 16:40 发表
  

转载：
        对魔方研究来说， 群论有一个非常重要的优点， 就是它可以充分利用魔方的对称性。
我们前面提到 4325 亿亿这个巨大数字时， 其实有一个疏漏， 那就是并未考虑到魔方作为
一个立方体所具有的对称性。 由此导致的结果， 是那 4325 亿亿种颜色组合中有很多其实
是完全相同的， 只是从不同的角度去看 (比如让不同的面朝上) 而已。 因此， 4325 亿亿
这个令人望而生畏的数字实际上是 “注水猪肉”。 那么， 这 “猪肉” 中的 “水份”
占多大比例呢？ 说出来吓大家一跳： 占了将近 99%！ 换句话说， 仅凭对称性一项，
数学家们就可以把魔方的颜色组合减少两个数量级[注五]。


原文链接：
http://www.changhai.org/articles/science/mathematics/rubikcube.php

原帖由 乌木 于 2009-11-23 17:38 发表
  
  109楼说“……只是从不同的角度去看 (比如让不同的面朝上) 而已。……”，说得很不对。

“4.3×10^19”这个数目是指纯色魔方六个中心块不动位置的条件下，角块和棱块经过转魔方方法所能得到的不同状态数目，谈不上什么“让不同的面朝上”之类的说法。也就是说，决无半点“水分”！在计算三阶纯色魔方的式子中根本没有中心块状态的变化数，一个魔方的中心块各自固定位置之后，还怎么“让不同的面朝上”？！即使计算全色魔方，中心块也只有各自的自转变化数，没有魔方整体运动。

在计算偶阶魔方的总态数时，一般已经排除了魔方整体运动产生的24同态问题，所以，也决无“水分”。

　　
  　　
　　
    卢昌海 的那篇科普读物《魔方与“上帝之数”》在论坛中早有人转帖，
  
谢谢！它很好地诠释了 正六面体三阶魔方 的最远状态寻找的艰难过程。其
  
   “仅凭对称性一项， 数学家们就可以把魔方的颜色组合减少两个数量级”
  
的科学性，利用我的《正六面体 N 阶魔方-48“同态”图解》 及其 逆变换
  
    http://bbs.mf8-china.com/data/attachment/forum/dvbbs/2006-5/20065719274976097.rar
　　
直接可以验证，其 压缩比率 为 1/96　！　
  
  
    关于我的《正六面体 N 阶魔方-48“同态”图解》的详细讨论，请大家
  
参考： 《正六面体 N 阶魔方-48“同态”解释》
  
     http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=6220&extra=page%3D1&page=3
  
  
    《正六面体 N 阶魔方-48“同态”解释》占了 100 余楼，浪费了我大量
   
时间和精力，因此我也不打算再花精力去整理了。能看懂的不整理也能看懂，
  
看不懂的整理得再好也白搭！
  
　　
　　
　　
　　

ggglgq

　　
  
    为什么要提上面这个问题呢？ 因楼主的问题如果改成 正六面体二阶魔方，
  
    http://bbs.mf8-china.com/data/attachment/forum/dvbbs/2006-5/20065719274976097.rar
  
其经过上面这 48“同态”处理， 正六面体二阶魔方 的状态数将是多少呢？
  
这个问题我认为更有意思，希望大家有空算一算！