BiCube解法（2楼有实例），只需两个公式

Cielo

按照右图（后面的java也是如此）中的摆放方式
前两层中除去标号的5块之外的部分比较容易复原，围绕最大的那个捆绑中心块来复原即可。

这里主要说说标号的5块的复原。只需要用到以下两个公式：
公式一（这个很简单）U;L;F';L';F;U';R';F;R;F';











效果是 3->4->5->3

公式一的逆 F;R';F';R;U;F';L;F;L';U';











效果是 3->5->4->3
公式二（这个是复原中偶然发现的，公式有点 commutator 的味道，尽管不是……）











效果是 1<->3 & 2<->4

我们先复原 1 和 2 这两块。
无论这5块一开始的顺序如何，总可以通过上述公式将 块1 “藏到” 5位。
情形一：块2 位于 3位，则用公式一将 块1  由 5位 移至  3位，此时 块2 自然由 3位 移至 4位；此时用公式二即可；
情形二：块2 位于 1位，先用公式二，即转化为情形一；
情形三：块2 位于 4位，公式一（块1 到 3位，块2 到 5位），再公式二（块1 到 1位，块2 仍在5位），再公式一（块2 到 3位，块1 仍在 1位），
再公式二（块1 到 3位，块2 到 1位），再公式一（块1 到 5位，块2 仍在一位），此时化为情形二；【确实比较繁琐……】
情形四：块2 位于 2位，先用公式二，即转化为情形三；

这时只剩下 3、4、5 这三块，我在复原过程中从未遇到只剩两块对换的情形，总是三轮换，那么用公式一即可复原。

[ 本帖最后由 Cielo 于 2011-9-11 22:34 编辑 ]

Cielo

以后可能会想想上面最后为什么不会出现对换，如果想出来原因了就发这里。（已解决，见下面Schuma的证明！）

更新一个实例。
思路：尽量让魔方大多数时候都保持“标准形式”，即不出现下面这种情况：1x1x2角块的一侧是1x1x1角块，另一侧是1x1x2角块，即下图

整个魔方里最大的一块是两相邻中心与一个棱块捆绑在一起，那么自然要先将这块旁边的两个 1x2x2 先复原。
大家在下面的实例中可以看到，在复原这两个 1x2x2 时，灵活地运用公式一就会很方便。（一个小技巧：换底）
我把24楼里回复乌木先生的话也搬到这里来吧：
弄前两层时，一开始只需要关注“最大块”两侧的这两对“棱角组合”，其他的都是可以先不管的。处理这两对的时候，可以换底（“最大块”上有两种颜色，我们可以灵活地选择其中一种作为底面），这样就能躲过“最大块”的限制。
而合并“棱角组合”也可以利用一楼给出的这两个公式了，可见这两个公式不只在最后5块能用，前面也能用上。

之后就剩5块了，用一楼的两个公式即可。

以在线玩Bicube中的打乱为例：












化为标准形式（橙底）：R2;U2;L';U2;R2;B;U';B';
想合并“橙黄绿角”和“黄绿棱”，用公式一（橙底的角度）：U';L;U;L';B';U;R';U';B2;
想合并“黄蓝橙角”和“蓝橙棱”，化为标准形式（黄底）：L;B';U;
公式一来合并：R;B';R';B;U';L';B;L;B';U';
再化为标准形式（橙底）：L';B';U;B;
此时只剩5块了，
公式一的逆：U;R';U';R;B;U';L;U;L';B';
公式二：L;U2;R';U;L';U2;R;U';
公式一的逆：U;R';U';R;B;U';L;U;L';B';
调整：B';
至此复原。

[ 本帖最后由 Cielo 于 2011-12-24 19:50 编辑 ]

ruitong

学习楼主新思路。

schuma

这个问题挺好的，那些1x1x2的块确实不能奇置换，只能偶置换。我来证明一下，你来看看有没有道理。

先给那些块起名如下：

3x3x3的魔方有八个角块。在Bicube里，七个角块和棱块捆绑到一起，组成了七个1x1x2的角块棱块组合，管它们叫大角块。剩下的一个单独的角块没有捆绑，管它叫小角块。

定理：经过一系列旋转以后，只要小角块回到它的初始位置，那么七个大角块的置换是一个偶置换。

证明：首先证明一个引理。

引理：只有小角块所在的面才能(单层)旋转。

引理的证明: 反证法，假设上面(U面)没有小角块而且也能单层旋转，那么上面的四个角都必须是大角块。由于它可以旋转，所以这四个角都必须和上层的棱块捆绑，不能和中层的棱块捆绑。所以捆绑的方式必须是(俯视图)




这样的话必须要有一个单独的没有捆绑的中心块。可是Bicube里不存在这样的中心块。矛盾。引理证明完毕。


现在回到主要定理的证明。

把八个角的位置分为两类: 小角块的初始位置以及和它距离根号2乘以棱长的位置，叫A类，其它四个位置是B类。这样分类的话，每个棱两端的两个角一定属于不同类。

由于引理，每次旋转都要移动小角块。每一次90度旋转是一个四循环，奇置换，并且小角块会被移动一步。

(1) 进行偶数次90度旋转后，小角块一定在A类位置，并且对于所有的角块来说，进行了偶数次奇置换，所以所有的角块的置换是偶置换。

(2) 进行奇数次90度旋转后，小角块一定在B类位置，并且对于所有的角块来说，进行了奇数次奇置换，所以所有的角块的置换是奇置换。

由于小角块的初始位置属于A类，所以它回到初始位置的时候，所有的角块是偶置换。定理证明完毕。

[ 本帖最后由 schuma 于 2011-9-10 15:35 编辑 ]

玉逸风

这个魔方确实是很给力！！顶一个

Cielo

原帖由 schuma 于 2011-9-10 07:26 发表
这个问题挺好的，那些1x1x2的块确实不能奇置换，只能偶置换。我来证明一下，你来看看有没有道理。
...

这个证明很好！

关于引理，因为所有的中心块都至少与相邻的一个棱块捆绑，所以不可能出现图中单独中心块的情况，即使拆了也拼不成

schuma

原帖由 Cielo 于 2011-9-10 15:24 发表
关于引理，因为所有的中心块都至少与相邻的一个棱块捆绑，所以不可能出现图中单独中心块的情况，即使拆了也拼不成

说的对，我忘了这一点了。现在已经把证明里那几句话改了。

42752277

技术贴啊，顶cielo！

Vicki

两个公式也太简单了~

乌木

还没学会。
在一个流行配色的三阶上，临时用胶带“捆绑”了一个和1楼一样的BiCube，七弄八弄得到一种状态，其各块的排列模式和1楼的是对称的，由于不会复原，就不会在java图中做出这种对称态，只好画出来。
是否要用1楼公式的对称式对付它？