又一个关于魔方的数学趣题

小鸿99

最近迷上最少步，研究的时候发现一个问题：
当一个三阶魔方已还原n个面时（注意，是面，面！），魔方可能有几种形态？
举例：当n=0时，为总形态数（那个数我背不过）
　　　当n=6时，只有一种形态
　　　当n=5时，同n=6
问题：
（1）当n=1/2/3/4时，各有多少种形态？
（2）当不为三阶魔方时（如二阶、高阶），以上数目各为多少？
（3）当包括拆散重拼情况时，又各有多少种情况？

我智商不行，琢磨半天也想不出来，求大神指教
PS：最好给出计算过程，不给也可以

晓小吃迪

请问魔方如何还原5个面。。

余挺

4个面都没见过

乌木

晓小吃迪 发表于 2012-12-8 21:26
请问魔方如何还原5个面。。

1楼说“当n=5时，同n=6”，意思就是，纯色三阶无法只复原5面，留下一面未复原。也就是，复原5面后，第6面也一定复原了。

前度！

哈哈哈，数学没学好~·

乌木

三阶纯色魔方，参照中心块组，单单一面同色的条件下，这一面的四个角块的位置变化数为4！＝24，四个棱块的位置变化数也是4！＝24，所以这一面的状态数为4！*4！＝576。这第一层没有色向变化。
余下4个角块和8个棱块，位置并色向变化数为
4！*(3^3)*8!*(2^7) / 2 。
(除以2是因为整个魔方不能单单交换两个块，并非余下12个块之中不能单单交换两个块。如果第一面含有单单交换两个块，则余下的12块必须含有单单交换两个块；如果第一面不含有，余下的12块也不含有。)
所以，单单一个面同色的条件下，相对于中心块而言，该三阶纯色魔方的状态数为
576*4！*(3^3)*8!*(2^7) / 2 。
不知对不对，请各位指正。

小鸿99

乌木 发表于 2012-12-8 22:29
三阶纯色魔方，参照中心块组，单单一面同色的条件下，这一面的四个角块的位置变化数为4！＝24，四个棱块的位 ...

乌木大哥神技术，回帖真快
这个思路应该是正确的，但是除以2那一步不太明白

乌木

余挺 发表于 2012-12-8 21:43
4个面都没见过

从复原态出发，想办法仅仅破坏两个面（或邻面，或对面），就相当于只复原4个面。

乌木

小鸿99 发表于 2012-12-8 22:32
乌木大哥神技术，回帖真快
这个思路应该是正确的，但是除以2那一步不太明白

三阶魔方不能单单交换两个块（无论角块还是棱块），想必你是知道的。

但是，交换两个角块和两个棱块，或交换两个角块和再交换另两个角块，或交换两个棱块和再交换另两个棱块，则都是允许的。
所以，上面我的叙述中，第一面若有（就第一面而言的）单单交换两个块的情况，此时，第二层和第三层就一定也有单单交换两个块的情况，整个魔方就是转得出态了。
第一面若没有（就第一面而言的）单单交换两个块的情况，此时，第二层和第三层就一定也没有单单交换两个块的情况，整个魔方也是转得出态了。

上面的计算中，与位置变化数有关的因子是4！，4！，4！和8！，都是角块和棱块拆下后再随机组装的变化数，它们的乘积有一半是转不出态（即含有单单交换两个块的态），只要简单地除以2就排除了。

晓小吃迪

乌木 发表于 2012-12-8 21:57
1楼说“当n=5时，同n=6”，意思就是，纯色三阶无法只复原5面，留下一面未复原。也就是，复原5面后，第6面 ...

好吧是我脑残了= =。。