魔方公理

乌木

命题：“以复原三阶为始态，找出二套公式，一套步数为奇数，一套步数为偶数，这二套公式分别都可以做出同一种状态。……”

答题：不可能。因为，复原三阶是无扰动态，设它的6个表层的任何转动次数之和为 n ，n等于1～+∞之中的任一（自然）数，n 非奇即偶，相应的结果态就是非“扰动态”即“无扰动态”，故n为奇数和n为偶数的结果态不可能同态。

pengw

厉害！厉害！结论正确，但表述还象有笔误

pengw

命题二：目标是复原状态，目标状态距其它任意状态的最短步数是奇数还是偶数？

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以前好象有个搞最小步的朋友回答过这种问题，这个问题完全可以用N阶定律确定

乌木

题目的意思是，如果任选一个三阶打乱态，选定之后，它的最少复原步数是奇数还是偶数？对吗？

我会做，再琢磨琢磨如何写答案，别的魔友也说说。

rongduo

QUOTE:

以下是引用pengw在2006-12-4 12:09:36的发言：

依据跷跷板原理：

中棱块和边角块各有一半的置还状态与另一半的状态对立平衡，计算也证实了这一点，依广义性：

中棱块置换的对立状态数：12！-12!/2                          满足跷跷板原理

边角块置换的对立状态数：8!-8!/2                                满足跷跷板原理

中棱块色向的对立状态数：2^12-2^11,依然为1/2，       满足跷跷板原理

边角块色向的对立状态数：3^8-3^7，变成2/3，            违背跷跷板原理

中心块色向的对立状态数：4^6-4^5,变成了3/4，           违背跷跷板原理

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照rongduo的计算原理，相互对立状态的总和等于魔方总状态，因此有：

 20160 × 239500800 × 2187 × 2048+20160 × 239500800 ×（ 3^8-3^7）×（2^12-2^11）

显然计算结果是正确值的1.5倍,而rongduo的计算式违背了自已定义的计算原理。难到跷跷板原理只对位置置换起作用，对色向无效？以上问题，可能需要作者向大家作进一步的说明。

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在排掉二、三阶色向的前提下，可置换的簇状态各占一半的对立，是正确的，三阶的扰动方程也预言了这一点。其实任何可置换的簇都有这种各占一半的特性，即所谓的基态簇与扰动簇的关系。三阶有二种扰动关系，所以，要么全是基态簇，要么全是扰动簇，从这一点计算出魔方总状态，是可以的，但角块色向与中心块色向并不遵寻跷跷板原理，作者只是直接引用色向状态而非色向对立状态，显然与自已的计算原理违背，但结果碰巧是正确的

对于四阶，基态簇与扰动簇组合关系跟三阶完全不一样，共有四种搭配方式，很难用此消彼长的跷跷板来解释，而三阶上的角色向不满足跷跷板原理的问题，在四阶或以后N阶都存在。

哈哈，很好! 彭君你像是原告，乌兄像是辩护人，本人以被告的身份出现，至于法官，则是其他魔友。我对辩护人的辩护基本满意，下来就请听被告忙里偷闲的自辩。

首先需要将书中到本章节为止的算法与你的根据自己的理解加进的算法区别开来。

先说书中的算法。本节进行的是汇总计算，而所有引用的数字是从前面几节中的明细计算得来的。比如那个3^7，其来路见本章第一节，这里不作新的补充。

下来看你的质疑。需要声明，跷跷板原理只是指出正确的魔方图案应该是什么样的，至于这样的图案有多少，则需借用组合论的公式。跷跷板原理不能直接推出你所列示的1/2或2/3 或其它数字。简单地说，跷跷板原理本质上是描述的而非计算的，我们用它来指导组合计算。故而，你用是否等于1/2或其它y/x来判定是否符合跷跷板原理，在本书中没有根据，或者说，那只是你的理解，客观上与本书内容无关。等于1/2未必一定符合跷跷板原理，不等于1/2也未必不符合跷跷板原理。其实本书至此对1/2之类并不很看重，只是在算出结果后(1/2之类并不是计算的前提!)顺代指出，“恰好”有1/2这个数。

另一点，你的质疑思路是包括错误组装在内的（姑且称之为“容错组装“），而本书至此的计算并未考虑容错组装。至于从容错组装角度的计算，见下一节的两种算法。

现在深入一步。其实，1/2和1/3这两个数还真的不是“恰好碰上”的，但其证明乃是群论的任务。在下一章提供的算法(乙）中可以约略看出那个1/2在群论中的来路，那个1/3 (你误认为是2/3) 的来路从本章第一节就可以看出，而用群论方法也能得到。

概括起来看，问题出在你质疑的思路与书中的思路完全不相合（你是否稍微认真地浏览过前三节？)，质疑的内容与质疑对象的内容关联性不大。你和被质疑的对象之间基本上是各说各话。

剩下的是中心块问题。现在我明确指出，跷跷板原理用于中心块无效（以前我曾误以为可以推广到中心块），这是它的局限性。对此以后再谈。

自辩结束。我不知道“原告”能在多大程度上接受我的自辩。

rongduo

刚才发现，有一个叫Ericsong的人，把我的小书的前五章以他的名义挂在了一个叫“数字魔方”的网站：

http://www.wystudy.com/bbs/dispbbs.asp?boardid=45&id=5242

我对此事很感不爽，但不知道怎么处理才好，特在此向吧主cube_master反映并求示下。

[此贴子已经被作者于2006-12-6 17:47:00编辑过]

乌木

试做91楼的命题二。

如果是全色三阶魔方，例如表面各单元正方形除颜色外，还标有可以显示其方向的标记（例如文字或图案等），那么，角和棱上的标记无所谓（因为颜色足以表明它们的取向了），只要看6个中心块的方向如何。如果有另一复原了的目标魔方实物在，最好；否则应该设法知道复原态时各中心块上标记的方向。再考查打乱态魔方的中心块，统计被转过90°（无论顺、逆时针）的中心块的总数n。n为奇数，则该魔方复原的最少步数为奇数；n为偶数，则魔方复原的最少步数为偶数。
如果一时无法知道各中心块原来的方向，也可按下述纯色魔方办法做。

如果是纯色三阶魔方，中心块方向状态是隐性的，则只要考查角簇或棱簇状态。以角簇为例，不管它们的取向如何，只看位置变化如何。两角互换、四角轮换、6角轮换和8角轮换都属于偶（性换位）环，找出所有的、一个个偶环，并求出偶环个数之和m。m是奇数，则魔方复原的最少步数为奇数；m为偶数，则复原的最少步数为偶数。
改用考查棱块的换位情况也一样，只不过还可能有10棱轮换环和12棱轮换环而已。
过程中最好动动笔和纸。

其实，这样判断出来的，不仅是复原的最少步数之奇偶，也是或精明或笨拙的、或快法或慢法、或亮拧或盲拧的任何复原方法的步数之奇偶。稍有不符，一定是没复原！
所以题目中的“最小步数”，就此题来说，是迷惑迷惑您的。

举个例子。复原态－－做U'、L'、U、L、U、F、U'、F'。假定您不知道这打乱步数，这打乱态中，角簇仅有一个三个角的轮换，角簇的“偶环数”为0，故复原步数为偶数。看棱簇也一样，棱簇仅有一个五个棱的轮换，棱簇的偶环数为0，故复原步数是偶数。

pengw

乌的回答基本上是正确的，我曾发表一篇“公式步长机偶”的论文，其实说的很清楚了。对三阶，扰动到非扰动状态，一定是奇数步，非扰动到非扰动一定是偶数步，只要弄清手中魔方状态的扰动情况，即可判断该状态到复原状态步数的奇偶性，而与最小步数无关。一句话，魔方的始末二态，决定公式步数的奇偶性，无论始末之间有多少个转换公式。

pengw

作为预言所有状态的N阶状态定律显然公式无关地工作着，但是，却能预言公式的一些行为，如公式步长奇偶性，公式循环周期，最大的公式循环周期，公式能做出什样的结果。状态无须由公式来通告，但可以由公式来验证，如果不理会最小步，魔方的事务终结于状态定律的预言。事实上，玩家不借助电脑，也没有能力玩最小步，到底状态定律与最小步数间如何沟通，这是最后一个终极问题。

pengw

rongduo兄的答复，今早才注意到，实在不好意思。根据rongduo兄的答复，丢开具体细节，是不是可以这样理解：

1。rongduo兄说，“跷跷板原理只是指出正确的魔方图案应该是什么样的，至于这样的图案有多少，则需借用组合公式”，我的理解是，能预言魔方正确状态的理论，一定可以预言状态数。那么，是不是可以说，跷跷板原理尚不能自足地预言三阶魔方所有状态？

2。rongduo兄说，“。。。我明确指出，跷跷板原理用于中心块无效”，丢开中心块的魔方状态显然是不完整的，因此，严格地讲，跷跷板原理不能预预言正确的魔方状态。

3。即然命名为跷跷板原理，一般就理解为二端平衡，但现在rongduo兄说，不仅限于这种方式，那么，是否可以为大家举出一个多端平衡的例子？角块色向组合的合法与非法的比例是：3^7(3^8-3^7)=1/2,即一个正确对二个错误，如何平衡？三阶全色魔方合法与错误状态之比 1：23，如何平衡？

rongduo兄在计算状态时，的确是引入合法与非法状态因子进行计算的，但感觉原理指导过程不清晰。

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另外，rongduo兄能否从概括角度，明确跷跷板原理的定义，功能，适用范围，并例举应用事例，可以帮助大家正确理解。

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争论不可谓不尖锐，你来我往，相互提高，共同促进，君子之争，唯理胜出，可千万不要弄成原告/被告这种对立关系，哈哈哈。

[此贴子已经被作者于2006-12-7 6:13:01编辑过]