以最少點決定唯一長方體問題

noski

谢谢指出我没有考虑22、1111等类型。
第二种情况可以不列出来，因为它的确可以看作是第三种情况的解。

为了减小篇幅，我对第三种情况的说明较简略，导致你没有理解我的意思。下面那个图我不应标C、D、C'、D'，而应该标C'1、C'2、D'1、D'2，你说的CC'、DD'在那个图上，都只是投影成一个点而已。你不理解不要说别人思维短路。

还有，我只用了一个显然，是说“显然不好排除”，并没有像你说的显然的意思。

lulijie

答141#：
    那你的结论   过AB的平面不允许转动，是唯一的。  是怎么得出的？
    过空间5点都无法确定唯一的3个垂直平面，而你的空间4点就得出它们确定唯一的3个垂直平面。不觉得有问题么？
    过你的ABCD4点确定的3个垂直平面有无数种情况。假设AB两点在一个平面上，过AB两点随便作一个平面M（这样的平面有无数种），那么过C点作M的垂面N也有无数种，再过D点作与M、N面都垂直的平面唯一确定，并且肯定能作出。
所以过ABCD4点确定的3个垂直平面有无数种情况。
如果你从它们可能出现平面分隔点在平面的两边来排除，倒是可以试试的。

noski

原帖由 lulijie 于 2009-1-15 19:05 发表
答141#：
    那你的结论   过AB的平面不允许转动，是唯一的。  是怎么得出的？
    过空间5点都无法确定唯一的3个垂直平面，而你的空间4点就得出它们确定唯一的3个垂直平面。不觉得有问题么？
    过你的ABCD4点 ...

呵呵，正是“过AB的平面不允许转动，是唯一的”这个结论，需要细致的分析，不能想当然，为什么我那第一个大图中红色的平面是不可能出现的呢？

对于AB在一个平面上，C和D分别在一个平面上这种情况，说明如下：
一、过AB的平面有无数个，但都是以直线AB为轴的；
二、由C和D确定的平面也有无数个，但都是以直线CC'和直线DD'为轴的（这里C'和D'是C和D在过AB的平面上的垂足）；
由上面一和二可以确定无数种组合，你没有异议吧？

那么开始排除：
首先，由AB确定的平面要保证点C和点D在同一侧。
其次，我的俯视图看明白了吗，先由AB确定一个平面，再垂直于这个平面看下去，CC'、DD'在这里投影成了一个点。
再次，由正四面体的性质，C和D的垂足一定落在我画的第二个俯视图那条直线上，且C'D'与AB垂直，点C和D确定的两个平面也投影成了一条直线。

于是，问题变成了，当C'、D'在那个投影直线上移动时，能不能和A、B组成一个直角的问题。
需要一点立体几何或高等数学的知识才能知道，只有当ABC'D'组成正方形的时候，才能使角C'AD'和角C'BD'都为90度，否则都会小于90度。小于90度意味着什么？意味着如果由点C和D确定了两个垂直的平面，那么必将点A和B分隔在两侧。这个命题我相信对你来说，并不难证明。

由极值点，确定了过AB的平面只有一种可能。由于正四面体高度对称，每两个点都是一样的，那么，再加上其它三个蓝点使解唯一也不足为奇了。

第8个小笼包

我一直在寻找空间上OABCD这样关系的点，∠AOB=90°，AC，BD分别与对角线成一定张角，左图。
看来楼上所述，如右图所示的7点，应该就是所寻求的点了。而且，由于地位是对称的，而且必定有两点在同一个平面上，所以只有5种讨论的情况，现在还需要一一验证即可。


[ 本帖最后由 第8个小笼包 于 2009-1-15 22:58 编辑 ]

lulijie

当平面绕着AB转动。当转到ABC构成的平面之前，CD的垂足C‘D’将落到AB线的一边。所以下面这句话
      小于90度意味着什么？意味着如果由点C和D确定了两个垂直的平面，那么必将点A和B分隔在两侧。
最好改为
     小于90度意味着如果由点C和D确定了两个垂直的平面，那么其中必将有一个平面将点ABCD中的某两点分隔在两侧。

还有你画的俯视图中，好像C‘D’的长度保持不变，其实只有CD平行于AB所在的平面时，垂足C‘D’才是最长的，随着面的转动，C‘D’会越来越短。
211类型，我现在赞成可以排除。
22类型也可排除，因为经过AB的任何平面，经过CD作其平面的垂面，必将经过AB的中点。（也就是将AB分割在平面的两边）
1111类型，那么假设AB在两个平行的面上，或BC在两个平行的面上，显然会把点分隔在平面的两边。也可排除。我用了显然这个字，是凭直觉想当然。

lulijie

答144＃：
讨论7点能否决定长方体时，像阁下所举的7点，根据对称性，只有3种类型的点。阁下认为7点在6个面的分布，应该是211111类型。所以得出只有5种要讨论的情况，这种看法是片面的。
正如我在解题思路探讨中所说的那样，定点时每个面上都要有1点，但构造长方体时没有这样的要求。要对7个点进行讨论，要讨论以下几种情况：
331000类型
322000类型
321100类型
311110类型
222100类型
221110类型
211111类型
每种情况都有一一排除。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
所以我还是认为像noski那样对4个点进行讨论非常简单些，分为以下类型：
31类型
22类型
211类型
1111类型
逐一排除。就可令7点定点成功。然后证明6点不可能定点成功，就证明了最少点7点决定唯一长方体。

第8个小笼包

原帖由 lulijie 于 2009-1-16 00:06 发表
答144＃：
讨论7点能否决定长方体时，像阁下所举的7点，根据对称性，只有3种类型的点。阁下认为7点在6个面的分布，应该是211111类型。所以得出只有5种要讨论的情况，这种看法是片面的。
正如我在解题思路探讨中所说 ...

我所说是总有一个面是多余2点的，你自己列举的也正好证明了我的说法。

ggglgq

　　
　　
　　嗯，看来《最少点确定长方体问题》的最终结论应该是 7 。
　　
　　
　　此题的探索过程给人以深刻的启迪！ 这 7 个点，尤其是 正四面体 的构造
  
真是太巧妙了。 应该给 骰迷、noski 加分！
  
  
    此题的论证需要严谨，虽然没有几个人有“实力和耐心”去仔细体会和分析
  
其中的“奥秘”。因此，即便《最少点确定长方体问题》已有定论，还是“置顶”
  
以便大家日后参考研究！
　　
　　
　　
　　

lulijie

经过大家的集思广益，这个题目基本定论在最少值为7点。最后还缺乏个严密的论证过程。我觉得用解方程组的方法来论证，应该会更严谨一些。
假设函数f1（X，Y，Z）＝A1X＋B1Y＋C1Z＋D1
       函数f2（X，Y，Z）＝A2X＋B2Y＋C2Z＋D2
那么f1（X，Y，Z）=0 表示一个平面（面M）      A1，B1，C1不全为0
       f2（X，Y，Z）=0 表示另一个平面（面N）   A2，B2，C2不全为0
       f1（X，Y，Z）＋ d＝0（d<>0）表示与面M平行的平面（面M‘）。
      面M与面N垂直   等价于  A1A2＋B1B2＋C1C2＝0
      点（X，Y，Z）在面M、M’两个平行平面之间  就等价于  f1（X，Y，Z）* [ f1（X，Y，Z）＋d]<0    (验证点在两个平面之间的公式)     判断式1
     多个点（X，Y，Z）在面M的同侧    等价于     f1（X，Y，Z）的正负号相同（即它们都大于0或都小于0）   判断式2
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
我们先定点7个点，按照正四面体的四个顶点先取4个点ABCD，加上另外对称的3个点EFG。
其中点BCD对称，EFG对称，A为原长方体的一个顶点。
我们可设坐标A（0，0，0），B（1，1，0），C（1，0，1），D（0，1，1）
构体时，对ABCD四个点在所构长方体六面上的分布情况进行分类讨论
    31类型，22类型，211类型，1111类型
对每种类型，假设面的方程，根据点在面上得出一组方程，再结合两个面垂直或平行的等价条件解方程组，求得这些方程组的解就得到了满足条件的面的方程表达式。这些解只说明ABCD点在解出的面上，但如果出现面分隔点在平面的两边，这些解就被淘汰。要判断面是否分隔点在平面的两边，我们不需要画图讨论，只要把不在面上的其他所有点的坐标代入上述判断式中进行判断就可。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
所有我们的严密的论证过程可以是如下：
1.  写出7个点的坐标，其中重点是点ABCD（它们构成了一个正四面体）。
2.  根据ABCD四个点在所构长方体六面上的分布情况进行分类（31类型，22类型，211类型，1111类型四个类型），解方程组，获得面的方程表达式。由于点的对称性，每种类型只需解1或2组方程组，（A和BCD还是有区别的）。
3. 获得面的方程后，根据判断式1或2判断面是否分隔点在平面的两边，以排除各个可能。最后得出只有一种解，即原长方体。
4. 证明了这7点定点成功后，我们再讨论任何6点定点不成功，最后得出最少值7点确定唯一长方体。

上述证明的好处是我们根本不需要空间分析能力，不需要画任何图，只要对代数式进行求解和分析 即可，证明过程又很严密。

骰迷

謝謝樓上捧場，半夜都來回帖
期待高手解決