11个经典智力题

noski

第九题,最后关的状态的灯的编号为:

2,5,10,17,26,37,50,65,82

乌木

第10题，正确答案或许要让懂物理的给出。我试试看。
大概原始人对着湖水“照水”时就有问为什么这为什么那的了，直到今天还可以议论同样的问题，蛮有意思。
实像与镜象，除了“左右变换”外，人们容易忽视的是前后也变换了。两者面对面了嘛！
进一步想，相对于我自身来说，当我平举戴了仅有的一只红手套的左手时，我的左手指向与镜中人的（也戴了仅有的一只红手套的）“右手”指向一致！！！我指东，它决不指西！可见只变了前后！通俗讲“左右变”合情不合理！（小学老师教体操，要么面对学生自己反做，要么背对学生自己正做。真正的启蒙教练呀！小孩用左手拿筷，理由是对面的大人也是用这个手呀。他把对面人的右手直接对应到自己的左手，简单呀！）
三维 x y z 正交坐标系统的镜象变换的规则就是只变换其中一个坐标方向。变哪个坐标，要看具体情况。（与眼睛左右布局无关！否则独眼人怎么用镜子？）
我在镜前右转侧身站立后，我和镜中人前后方向未变，上下也不变，但左右变了：我的红左手与镜中人的红“右手”指向相反！我俩都侧目相对地相互指责对方“你反了！”
若把镜子平放于地板，我站着看湖水般地看下去，则变的是上下！（镜中人在地板下面拿大顶！）另两个坐标不变。
再要问些为什么，我只好两手一摊了。
我在拼拆区《断头魔镜……》一帖中给出了“左右不反”、看“F”还是“F”的魔镜，那是魔术。其实还可做个三维的魔镜，“左右不反”，上下却颠倒了。谁要不倒立而看自己（在镜中）拿大顶的形象，不妨用三块镜子置于相当于魔方的 L、B、D（或R、B、D） 三个位置，对着那镜子构成的、“两墙一地板”似的角落看入即可。练体操者最好先从这里开始，看看自己倒立的形象美不美。

刚贴时说“规则是只变两个坐标方向”，贴出后马上感到错了，改正如上。还有问题否？各位指正哟。

[此贴子已经被作者于2005-6-4 10:27:59编辑过]

乌木

补个图似乎清楚些：


可见，总的来说不必论述什么前后变、左右变或是上下变，只要说“右手定则坐标系统和左手定则坐标系统互为镜像”就足够了。
－－侬格只乌木老头，我说是左右变换了嘛！什么“合情不合理”呀，什么什么呀！被你说得晕乎乎的。
－－我，我，我这不是刚刚想到这儿嘛！不过，你也不要放马后炮了！你原来说的左右是这个左右吗？别跟我嘻嘻！

[此贴子已经被作者于2005-6-15 8:42:09编辑过]

simpley

最后一]题:3个黑帽子

simpley

第九题,最后关的状态的灯的编号为:

1,4,9,16,25,---------100

即所有完全平方数

乌木

那个照镜子问题，我弟弟这样说：

“能不能归纳成如下的数学问题：在一个固有的空间坐标中有一个通过原点任意取向（已知）的平面镜，对空间的一个已知矢量，写出这个矢量在镜中的虚像的矢量（同一坐标系）。 一般地虚像矢量的三个分量都会变（而我们看到的正是这个虚像）。这是一个立体解析几何的问题，我还没做。一般光学书也不故意去搞这种数学玩意。”

乌木

转发Z.Yu.来信：

关于镜像变换的讨论

关于镜中的影像究竟是左右相反，还是前后相反，或是上下颠倒？前面的讨论要我们“看具体情况”而定。一般情况，似乎是三个方向都会发生变化，但不一定“相反”，某个方向相反是由我们取定某种坐标系统，使问题简化，也可以说是三种特例。若取任意坐标来处理，虽然只需用几何三角等初等数学工具，但表达式太繁，也无助于理解实质。究竟应该怎样系统地来理解和处理镜像对称的问题呢？

另一个问题是，提问者所说的“相反”，虽没指明是和“谁”相反，大家也都理解了。例如，面对镜子站立，人们说镜像中的人是左右相反的，心照不宣的比较对象，是将镜面前的人绕镜面上的竖直轴转到镜后面，是转动的“对面人”。但也可以说，镜像的左右方向没变，只是前后相反了。这种说法隐含着比较对象是将镜面前的人平移到镜子里面去，是“平移人”。其他情形，如人与镜面侧立的情形、水面中有倒影的说法，都可以分析出是以何种变换方法为参照对象的。可见，日常语言的包容性很大，听者的大脑会“自动地理解”。但必竟不是分析的、理性的，易产生岐义。

有了以上的一些分析，下面就试着用既不失一般性，又较严密的作图法（避免用繁琐的数学表达式），来解释这个司空见惯的对称问题。说是作图法，也不用一张图，文字说说就行了。读者有需要自己画画划划就行。

镜面外有一任意形状的物体（镜面和物体都是任意摆放的，不必考虑与周围物体如墙呀、地面呀的关系），在物体上选定一个点A，为物的基点，A代表了物的空间位置，不含取向。由A向镜面作一垂线，垂足（垂线与面的交点）为O，O就是坐标原点。这根垂线OA就作为坐标的X轴，方向指向镜面外。坐标的Y、Z轴就都在镜面上，没有任何理由来规定Y，Z的取向，那就任意吧。

物体的每一个点向镜面作垂线，并穿过镜面向镜子的反面延长，延长的长度等于物体上的这个点到镜面距离，如此得到物体各个点的像点，所有的像点的集合，就是该物体的镜像，是虚像，基点A的像点是A’。这样的操作是对称操作中的一种，叫做镜面反演。镜像的位置和方位是唯一确定的，与坐标选取无关。

将物体沿垂线OA向镜面移动，并穿过镜面向镜子的反面延长，延长的长度等于OA，（物体上所有点都平移相同的距离。），得到物的平移像。

现在我们来比较镜像和平移像，它们的基点A、A’是重合的（可以说在同一坐标位置），但两个像的方位不同，也难说是相反（后面将会提到能造成方向完全相反的操作）。如果这个物体形状能区分出长、宽、高，或能指认前后左右上下（把这种性质称作有方向特征吧），将这样的物体放置成使长宽高分别平行于我们已定的XYZ轴，这样我们就能指认出镜像和平移像是前后相反还是上下、左右相反，而且只有其中一个方向上相反。这样就把一般情形退化为特定情况。对一般情形，只能说镜像和物（或平移像）互为右手坐标系统和左手坐标系统，这绝对是正硧的。再要具体明确一般的镜像与和平移像方位的变化就免不了用立体解析几何的一大堆数学式子，这几乎是没有必要的。

如果将物绕Z轴旋转来得到“旋转像”，这种对称操作称为旋转操作，旋转操作有旋转角度作为参数。若旋转180度，到镜后面，A、A’也是重合的。但因为Z轴是随意取的，旋转像的方位将随Z轴的取向不同而不同，它不是唯一确定的，相互间也没有理由来认出优劣。若要将旋转像作为与镜像比较的参照体，就更啰嗦（这个词通过电子词典才知道规范的写法）了。当选定出特定的方位坐标，也能指认出镜像与旋转像在某个方向上反了。不管旋转轴如何选取，镜像与旋转像是互为右手坐标系统和左手坐标系统。即旋转操作不改变物体坐标系统的左右对称性。这一点和平移操作一样，只是方向发生了转动。

还有一种对称操作，称中心反演（或中心对称）。将物体的每一个点与原点O相连，并反向延长，延长的长度等于物体上的这个点到O的距离，如此得到物体的各个点的像点，所有的像点的集合，就是该物体的反像。不管YZ轴怎么取、不管物体有没有方向特征，反像的方位与物全部相反，简单明了。

中心反演改变坐标系统的左右对称性。具体来说，物是右手，反像是左手。当然镜像也是左手，但反像和镜像这两只左手有180度的旋转关系。这就是说，中心反演操作可由镜面反演加上旋转操作组合而成。对称操作是一种运算，各种操作的组合关系就可形成一套数学运算法则。群论中就会用到这类法则，当然它要捣鼓更广泛更复杂的体系。

镜面对称是将正交坐标系统的一个轴打反，中心对称是将三个轴都打反。即打反奇次数的坐标轴将使右手空间变成左手空间。这里面有没有更深层次或更本质的内涵，不敢瞎说了。平移或旋转操作，只要不发生空间左右变换，就可以直接从物体复制出像来。镜面或中心反演，则必须作物理上的改变才能得到反像。例如，原物是右手的表面——右手套，必须将面子里子翻一翻，才能得到镜像——左手套。

再提一个思考题。我们知道，物在凸透镜光轴的2f（f是透镜焦距）处，成像是大小相同的倒的实象。什么对称操作可达到这种效果？

围绕对称问题有大学问。往往开始接触觉得司空见惯的事不在意。玩到后面就弄糊涂了。所以搞清一些基本问题是很有必要的。

Z.Yu 2005.6.7.

乌木

第4题，若可用日晒法，则一开始就可用，不必拆商标纸。以后穿用换洗后，同色的结在一起或盲人们特有的其它方法（若有的话），避免穿出“鸳鸯袜”。或许，真穿错了，倒是新潮呢。人们穿衣不是已经有以不对称为美的吗？

乌木

咦！论坛停了几天后，simpley兄的答案解释（跟帖）哪去啦？我下面的回话别人看不懂了呀！

噢，原来您是这么考虑的,可我看了还有点费解，跟不上思路，得继续想。我也在赴那舞会，可钻入了牛角尖，现刚有点知错。你们还得拉兄弟一把，带上我一起去戴帽。（大革 文化 命及之前的折腾年代，"戴帽"可是甚至会置人于死地的大祸哟！避之还唯恐不及呢。）下面说说我的牛角尖及其逃脱方向。
如果答案是3黑，主持人仅说至少1黑，（题中说"有黑有白"指已在头上也好，指在盒子中也罢，无所谓，）舞者应该这样想：
任何（不知自己是黑是白的）白者都在自问：有第4顶黑吗？若无，没我什么事；若有，定是我，但无法肯定。总之，白者无结论。
任何（不知自己是黑是白的）黑者都在自问：有第3顶黑吗？若无，没我什么事；若有，定是我，但无法肯定。总之，黑者也无结论。
既然第1回合都无结论，条件又未变，再多回合，也还是无结论；再玩什么开灯关灯之类的花样，也无济于事。
如果答案是非1黑也非3黑，同理也无结论。
（以上是我的牛角尖。）
若答案为1黑，不等关灯，黑者立即自打了，且题目的智力成分过少，谈不上经典。
可是，舞者中毕竟有智者在。于是主持人开始引导。也确有人接受引导，终于有了可喜可贺的耳光声。
题中没说有几个人自打。我猜想，有多少人自打不重要，只要有至少一个人那么想，且一定是到第某次才肯定，则既必需也足够了。其余还钻在牛角尖里的戴黑者不妨碍那智者的思考，不必也不可能要求所有戴黑者智力一样高。（如何证明这猜想，大概只要懂了simpley兄的叙述就全有了。）
有可能某人思考错误，提前出现打声，甚至是戴白者的错打声，搅乱了智者的思考。那好办，"剪辑掉，不播！"
相反，完全有可能主持人无论怎么引导，都不起作用，那就更"没问题"啦！
我的想法也 没问题 吗？

[此贴子已经被作者于2005-6-15 8:49:18编辑过]