三阶魔方三轮换分类及其应用

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      我们把相对熟悉的614这套挑出来，把它所在的类定为角块三轮换第1类（这是一种异层公式的典型形态，我们不妨把它称为角块三轮换“异层类”）。

图  614套

      哪些套是角块第1类（异层类）呢？做一个y2z’的整体旋转，按相对位置看一下现在处于新坐标系DBL-UFL-URF位置的块，会发现新坐标系下DBL-UFL-URF三轮换是原坐标系下URF-ULB-DBL位置的三轮换。也就是说，经过y2z’整体旋转后，新坐标系下的6是原坐标系下的4，新坐标系下的1是原坐标系下的2，新坐标系下的4是原坐标系下的6，新坐标系下的614套就是原坐标系的426套。我们考察整体旋转后新坐标系下的614套，则y2z’得到426，（再回到原坐标系下做新的整体旋转，下同）x’z’得到634，y’z2得到456，yz得到684，z2x’得到476，x2得到167，y’z得到862，xz得到365。到此我们已经得到了固定缓冲的角块第1类的所有套。所以固定缓冲的角块第1类（异层类）有9套。

      角块第1类（异层类）有9套。

图  角块第1类（异层类）的9套

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      我们再看其他的套。687这一套的形态大家非常熟悉，这是同层公式的典型形态。不难看出，同层公式有且只有一类，我们把它称为角块第2类（同层类）。

图  687套

      哪些套是角块第2类（同层类）呢？从687这套出发（注意，三块都在D层），经过y整体旋转后，新坐标系下的6是原坐标系下的5，新坐标系下的8是原坐标系下的7，新坐标系下的7是原坐标系下的6，新坐标系下的687套就是原坐标系的576套。我们考察整体旋转后新坐标系下的687套，y得到576，y2得到865，x’z2得到726，y’z’得到367，x’z’得到615，z’得到256，yz得到632，xz’得到162。我们就得到了固定缓冲的角块第2类的所有套。所以固定缓冲的角块第2类（同层类）也有9套。

图  角块第2类（同层类）的9套

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      再看其余的套。现在只剩3套没有被提及，它们是613、618和638。容易看出，它们也是异层的套，但不同于角块第1类（异层类），它们中的每一套涉及的三个角块的位置可以看成一个等边三角形的三个顶点。（事实上，1、3、6、8可以看作一个正四面体的四个顶点。）我们把613、618和638归为角块第3类（等边类）。

图  角块第3类（等边类）的3套

      综上，固定缓冲的角块三轮换分为三类：第1类（异层类）、第2类（同层类）和第3类（等边类），它们分别包含9套、9套和3套三轮换。
      实际上，由于“类”和“组”都不区分整体旋转，从固定缓冲到不固定缓冲，类数和组数均保持不变。
      所以我们可以说，全部的1008条角块三轮换分为三类：第1类（异层类）、第2类（同层类）和第3类（等边类）。

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1.3  角块三轮换的分组

      得出了角块三轮换分类的结论，我们来看分组。
      “组”是指在区分色向的情况下，把两两之间至多只差整体旋转的所有三轮换状态归为一个等价类，这样的一个等价类称为一个“组”。我们已经知道，“组”和“类”都不区分旋转，“组”与“类”的区别就在于是否区分色向。“类”不分色向，但“组”要区分色向。所以“组”是“类”的细分，每一“类”是若干“组”的组合。下面我们来看角块三轮换的三类分别有多少组。

      先看角块第1类（异层类）。
      角块第1类（异层类）在固定缓冲下有9套，它们两两之间至多只差整体旋转。我们在其中选取很多魔友都熟悉的614这一套，分析它的分组情况。

图  614套

      614套包含18条（9型）三轮换。这9型分别是OAJ、OAK、OAL、OBJ、OBK、OBL、OCJ、OCK、OCL。这9型的顺逆公式18条正是在彳亍法入门教程中至关重要的“基本公式”。我们注意到，这9型两两之间都不能通过整体旋转等同起来，所以这9型分别属于9个不同的组。我们按上述顺序赋予它们角块第1组至第9组的编号（也可记为C01-C09，“C”表示角块，数字表示组号）。

图  C01-C09各一型

      角块第1类（异层类）在固定缓冲下共有9套，其余8套都可以通过614这一套旋转得到。可以注意到，角块第1组至第9组（C01-C09）中的每一组在第1类（异层类）的9套中的每一套里有且只有一型；而角块第1类（异层类）的9套中的每一套在角块第1组至第9组（C01-C09）中的每一组里有且只有一型。角块第1类（异层类）共有81型（162条）。
      对于角块第1类（异层类）而言，可以这样直观地理解：第1类（异层类）的“套”和“组”是从纵横两个方向进行的分类。从一个角度看，此类共有9套，每套9型；从另一个角度看，此类共有9组，每组9型。纵横交错，共有81型。

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      我们列一张表来看一下。

表  角块第1类（异层类）分组

      在上面的表格中，双字母组合表示以DBL角块的O面为缓冲的三轮换，例如AJ就表示OAJ三轮换。整体旋转的意义已在上文中说明。事实上，本文中某三轮换在整体旋转下变成另一三轮换是指按给定的整体旋转变化以后按相对位置找出处于新坐标系的该编码对应的三个块（严格来讲是“面”），读出这三块（面）在原坐标系下的编码（而不是原来那三块在新坐标系下的新编码），就是另一个三轮换。

图  OAJ、QIK与OGL

      例如，我们看到AJ与GL同在第一行。表中三轮换的第一列标明“-”，表示把第一列作为基准位置（即614套）。现在看三轮换第三列上面标着“ x’z’ ”，我们做一个x’z’整体旋转，新坐标系下的OAJ编码是哪三块？O表示DBL的D面，我们找到新坐标系下DBL的D面，这个面在新坐标系下的编码是O，它在原坐标系下的编码是Q。再看A，它表示UFL的U面，我们找到新坐标系下UFL的U面，这个面在新坐标系下的编码是A，它在原坐标系下的编码是I。类似地，J表示URF的U面，我们找到新坐标系下URF的U面，这个面在新坐标系下的编码是J，它在原坐标系下的编码是K。现在，我们得到OAJ经过x’z’整体旋转后的三轮换QIK。由于是以O为缓冲，我们把QIK改写为OGL。这就是三轮换第一行第三列那个“GL”的由来。

图  OAJ与OLF

      需要注意的是，每个双字母组合既可以看作一型，又可以看作已确定顺逆的一条三轮换。当把表格同一行中的9个双字母组合看作已确定顺逆的9条三轮换时，它们轮换的方向是一致的。例如，AJ和LF在同一行中，这表明OAJ与OLF两条三轮换是同一方向，即OLF可由OAJ通过整体旋转得到，而OFL与OAJ则是顺逆方向相反的。
      有了上面的分析及图表，我们已经能很轻松地找到固定缓冲为O的情况下角块第1类（异层类）包含的全部三轮换。

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      再分析角块第2类（同层类）。
      角块第2类（同层类）同样有9套，它们两两之间至多只差整体旋转。我们从687这一套入手，分析它的分组情况。

图  687套

      687套包含18条（9型）三轮换。这9型分别是OXR、OXS、OXT、OYR、OYS、OYT、OZR、OZS、OZT。这9型两两之间都不能通过整体旋转等同起来，所以这9型分别属于9个不同的组。我们按上述顺序赋予它们角块第10组至第18组的编号（也可记为C10-C18）。

图  C10-C18各一型

      角块第2类（同层类）共有9套，其余8套都可以通过687这一套旋转得到。可以注意到，角块第10组至第18组（C10-C18）中的每一组在第2类（同层类）的9套中的每一套里有且只有一型；而角块第2类（同层类）的9套中的每一套在角块第10组至第18组（C10-C18）中的每一组里有且只有一型。角块第2类（同层类）共有81型（162条）。
      分析到这里不难发现，角块第2类（同层类）与第1类（异层类）的结构具有高度的相似性。我们列一张表来看一下。

表  角块第2类（异层类）分组

      这个表格的内容的含义请参见对第1类（异层类）分组的分析中给出的解释。

      参照上面的图表，就能非常容易地找到角块第2类（同层类）包含的全部三轮换，掌握旋转规律，并识别公式顺逆。

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      最后来看角块第3类（等边类）。
      角块第3类（等边类）只有613、618和638这3套，每套有9型，共27型（54条）。但由于等边类具有旋转对称性，对其分组的分析要稍微复杂一点。

      先看一下613套。这一套包含18条（9型）三轮换。这9型分别是OAG、OAH、OAI、OBG、OBH、OBI、OCG、OCH、OCI，它们是否像前两类那样，分别属于9个组呢？实际上，由角块第3类（等边类）特有的旋转对称性，我们注意到，在整体旋转xz或yz’下，613套仍是613套，只不过三轮换的三个块的位置做了一个旋转。
      型的变化是什么情况呢？
      我们仿照角块前两类，把第3类（等边类）列一个表分析一下。

表  角块第3类（等边类）分组（分析表）

      “暂定组1”中，OAG在整体旋转xz下变成GOA，在整体旋转yz’下变成AGO。（再次提示，对本文中某三轮换在整体旋转下变成另一三轮换的含义的解释已在上文中给出，请不要理解错。）三种情况都是OAG型，连公式的顺逆都没有改变。经过推算可以发现，OBI、OCH也是类似的情况，它们在整体旋转xz或yz’下的编码分别保持不变。但OAG、OBI和OCH两两之间不能通过整体旋转等同起来。613套中OAG、OBI和OCH分别属于三个组，我们依次把它们命名为角块第19组（C19）、角块第20组（C20）和角块第21组（C21）。

图  C19  OAG=GOA=AGO

      613套中的其他6型就不一样了。以OAH为例，它在整体旋转xz下变成OBG，在整体旋转yz’下变成OCI。也就是说OAH、OBG、OCI其实是属于同一组的，上表中的暂定组2、4、9可以合并为一个组。同理，暂定组3、5、7可以合并为另一个组。我们依次把这两组命名为角块第22组（C22）和角块第23组（C23）。

图  C22  OAH=OBG=OCI

      所以角块第3类（等边类）有且只有5组。

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      现在把角块第3类（等边类）的分组整理到一张新表上。

表  角块第3类（等边类）分组

图  C19-C23各一型

      这样我们就把角块第3类（等边类）包含的全部三轮换的分组以及组套关系弄清楚了。

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      前面已经提到过，由于“类”和“组”都不区分旋转，从固定缓冲到不固定缓冲，类数和组数均保持不变。
      也就是说，不论是否固定缓冲，角块三轮换的分组已经完成了。角块三轮换（不论是全部的1008条还是固定缓冲时的378条）共分23组。第1类（异层类）包含9组，即第1组至第9组（C01-C09）；第2类（同层类）包含9组，即第10组至第18组（C10-C18）；角块第3类（等边类）包含5组，即第19组至第23组（C19-C23）。

      我们列一张固定缓冲（以DBL为例）角块三轮换的分组总表看一下。

表  固定缓冲（以DBL为例）角块三轮换的分组总表

      这张表涵盖了固定缓冲（以DBL为例）角块三轮换的全部189型，顺逆两个方向共378条。

      请熟悉这张表的内容。后面会把固定缓冲三轮换扩展到全部三轮换，全部三轮换的分类表是本文的核心内容之一，在后面会给出它的一些应用。

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第2节  角块三轮换的镜像关系

      利用镜面对称关系扩展公式是研究三轮换解法的常用手段。我们来研究一下角块三轮换诸型的镜像关系。
      为了表述的方便，再定义几个术语。

      并类：在不分色向的情况下，把两两之间至多只差整体旋转或镜像变换的所有三轮换状态归为一个等价类，这样的一个等价类称为一个“并类”。

      并组：在区分色向的情况下，把两两之间至多只差整体旋转或镜像变换的所有三轮换状态归为一个等价类，这样的一个等价类称为一个“并组”。

      可以看到，“并类”、“并组”与“类”、“组”的区别就在于定义中是否规定相差一个镜像变换的两种状态要归为同一个等价类。

      注意到“套”的概念要区分相差整体旋转的三轮换，所以我们没有理由再定义“并套”、“并型”与“并条”的概念。

      很显然，角块三轮换的三类（异层类、同层类、等边类）两两之间都不能通过镜像变换等同起来，所以对于角块来说，“并类”和“类”这两个概念是等价的。（但是对于棱块来说，“并类”和“类”是有区别的。）

      我们重点考察角块三轮换“并组”与“组”的关系。
      显然，“组”是“并组”的细分，每一“并组”是若干“组”的组合。对于角块三轮换来说，只有同一类中的组才有可能属于一个“并组”。
      下面我们逐类进行考察。请注意，关注的焦点要放在哪些组之间有镜面对称关系以及镜面对称关系是如何体现的。“并组”的数量则是次要的问题。