为什么无色向簇的块无色向？

乌木

<P>所谓“无色向”，不是指（比如）一个棱块的两个色片一样颜色，它还是有两个不同的色片，而是该棱块无法原地翻色。比如四阶的棱块，它们和三阶的棱块大不同。三阶的可以原地翻色（只不过不能单单一个棱块原地翻色而已），四阶的棱块在原地只有确定的一种色向，要想翻色，唯有移动到另一类棱块位置，并且到了那个位置上同样不能就地变化色向。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>此事确实奥妙，不知如何证明。</P>

Atato

我先占一楼........

Cielo

<P>

原帖由 <I>乌木</I> 于 2008-9-12 09:38 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=236965&amp;ptid=13524" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 所谓“无色向”，不是指（比如）一个棱块的两个色片一样颜色，它还是有两个不同的色片，而是该棱块无法原地翻色。比如四阶的棱块，它们和三阶的棱块大不同。三阶的可以原地翻色（只不过不能单单一个棱块原地翻色而已 ...

</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>我平时手头总拿着3阶魔方，对高阶的思考就少了<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/sweat.gif" border=0 smilieid="10"> </P>
<P>&nbsp;</P>
<P>就用乌木先生的例子，四阶的棱块经过若干步（90°算一步）转动后，回到原位，那么步数一定是偶数。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>不知道这个“偶数”与色向不能改变有没有关系。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>-----------------------------------------------------------------------------------------------------------</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>另外一种想法：对四阶的棱块来说，我们设一开始魔方中心位于空间中的O点，而这个棱块的中心A（就是小正方体的中心）原来位于空间中的B点。不管这个棱块转动到了魔方的什么位置，我们保持魔方中心仍位于O，通过整体转动，将此棱块的中心A仍转到与B重合，那么它的两面上的颜色与初始时刻方向相同。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>所以若棱块被转回原位，就相当于上面整体转动魔方的步骤省略掉了，所以色向不变。</P>

pengw

顺便问一句，Cielo是如何联想到逆序对与簇奇偶性关联的，确实是一个很妙的思路。

earthengine

原帖由 <i>pengw</i> 于 2008-9-12 20:29 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=237466&amp;ptid=13524" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>
顺便问一句，Cielo是如何联想到逆序对与簇奇偶性关联的，确实是一个很妙的思路。

<br>请参考我的更早帖子。这个思路在任何一本《线性代数》的教材都有，谁都不是原创。另外，证明“不可能”的命题，寻找不变量是一般的思路。<br>

原帖由 <i>earthengine</i> 于 2008-9-5 17:29 发表 <a href="redirect.php?goto=findpost&amp;pid=232287&amp;ptid=13343" target="_blank"><img src="images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>
下面是一个证明思路：1、找到一个描述所有置换情况的数字，它总是在偶置换时为偶数，奇置换时为奇数。2、证明每个相邻位置的对换总是改变这个数字的奇偶性。相邻位置可以通过用某种方式来排序所有位置来定义。3、证明 ...

<br>

earthengine

原帖由 <i>Cielo</i> 于 2008-9-12 20:04 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=237435&amp;ptid=13524" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>

&nbsp;
我平时手头总拿着3阶魔方，对高阶的思考就少了
&nbsp;
就用乌木先生的例子，四阶的棱块经过若干步（90°算一步）转动后，回到原位，那么步数一定是偶数。
&nbsp;
不知道这个“偶数”与色向不能改变有 ...

<br>Cielo，我提示一下估计你就能明白了，即使别人可能还不明白。<br><br>1、把魔方的层转面转看成无数个点在整体变换位置（在同一个块里，这是连续变换，因此相邻的点变换到的位置也相邻！）。<br>2、魔方的一个块有方向，是因为在某些变换下，这个块的某个点回到了原位（称为不动点），而其它点则改变了位置。 如果一个块在任意变换下都不存在不动点时，它将没有色向变化。原因是它的整体位置唯一决定了它所有点的位置，因此不会再有方向的变化。<br>3、需要证明：每个点在任意变换下最多只能到达24个不同位置。<br>4、需要证明：在魔方的任意变换下，只有26个可能的不动点：8个角的端点，12条棱的中点，以及6个面的中心点。<br>5、这样，高阶魔方存在无色向块的原因是它们存在不含有不动点的块。<br><br>我先发到这里，如果你说不能完成证明，我后天贴3的证明。<br>

[ 本帖最后由 earthengine 于 2008-9-13 19:08 编辑 ]

Cielo

<P>

原帖由 <I>pengw</I> 于 2008-9-12 20:29 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=237466&amp;ptid=13524" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 顺便问一句，Cielo是如何联想到逆序对与簇奇偶性关联的，确实是一个很妙的思路。

</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>我只是联想到簇奇偶性与排列的奇偶性有关，而不是联想到逆序对与簇奇偶性关联的。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>因为正如earthengine所说，“逆序对”只不过是用来说明“奇排列、偶排列”的定义的工具。</P>

乌木

<P>16楼所说的“4、需要证明：在魔方的任意变换下，只有26个可能的不动点：8个角的端点，12条棱的中点，以及6个面的中心点。<BR>5、这样，高阶魔方存在无色向块的原因是它们存在不含有不动点的块，”是否可以和立方体的二次对称轴和三次对称轴以及四次对称轴相联系？那三种轴在四阶魔方上只有三次轴穿过角块，穿过的点就是“不动点”；另两种轴都没有穿过魔方块，以致四阶的棱块和心块就“找不到北了”（即所谓“无色向”）。对吗？</P>

earthengine

原帖由 <i>乌木</i> 于 2008-9-13 18:41 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=238184&amp;ptid=13524" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>
16楼所说的“4、需要证明：在魔方的任意变换下，只有26个可能的不动点：8个角的端点，12条棱的中点，以及6个面的中心点。5、这样，高阶魔方存在无色向块的原因是它们存在不含有不动点的块，”是否可以和立方体的二次 ...

<br>你的初步想法是正确的，不过还有待严格的数学证明。<br>

pengw

真不明白16楼在说什么，你这也提示那也数学，可是到头来，所有证明思路都跟你无关，所有证明都要别人替你完成，你到底在自豪什么，再看看你那些冗长无序的归纳，别人几句话就完成了，难到数学目标就是让人越搞越乱，还是你根本不懂数学的意义？还是根本不知道自已在说什么？

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-9-13 22:25 编辑 ]