第三件惊奇的事

lulijie

随便出X，我都能求出N ，当然N不能太大，否则电脑吃不消时间。
楼主的结论是对的。

kqwin

无巧不成书，古人古语

lulijie

计算两个数，p是正整数
d1 = ( ln(X) + p * ln(10)  )    /    ln(2)
d2 = ( ln(X + 1) + p *ln(10) )  /   ln(2)
若d2的整数 比 d1的整数部分 大 1。
那么N就等于 d2的整数。
因为 d2-d1 = ln(1+1/x)  / in(2)   
   所以   d2-d1<1  ，   d2-d1  当X很大时接近于0。
所以 为了使  d2的整数 比 d1的整数部分 大 1   成立，
必须使得 d1非常接近整数，也就是说它的小数部分必须是999999..........
    也就是说，找到一个p，使得  d1的小数部分以足够多的9开头。或者 使得  d2的小数部分以足够多的0开头。
        因为△d= d2-d1 = ln(1+1/x)  / in(2)  ，设△d的小数部分以M个0开头，那么M+1就是足够多。
只要证明蓝字部分，就可证明楼主的论断。

lulijie

d1 = ( ln(X) + p * ln(10)  )    /    ln(2)
    =ln(X)/ln(2)  +  p*   ln(10)/ln(2)
设 ln(X)/ln(2)  的小数部分为1- e1，n(10)/ln(2) 的小数部分 为e2= ln(10)/ln(2) -3=0.32192809488.......
要 d1的小数部分以足够多的9开头，就是使
    p*e2-e1以足够多的9开头 ，即  p*e2的小数部分足够接近e1,但要小于e1。
所以只要证明
      e2= ln(10)/ln(2) -3=0.32192809488.......
    对于任意的e1  （在0和1之间的），一定存在一个正整数，使得  p*e2的小数部分足够接近e1,但小于e1。
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推广一下：
证明：对于任意的e1和e2,        0<e1<1 ， 0<e2<1
    一定存在一个正整数p  ，使得                                          （  f= p*e2 -int(p*e2)  即 f 是p*e2的小数部分。）
        f <e1  且    e1-f 小于任意给定的正实数。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-3-28 14:27 编辑 ]

骰迷

（比如对于a=0.03,存在N=10，2^N=1024,1.024-1=0.024<0.3）
該是0.03吧

kexin_xiao

16楼是高手啊,学习一下

lulijie

17楼，我不明白你的意思，说详细一点。

ZJY

这些都要用计算机来算啊！用人手算，那得算到何年何月啊！

yang_bigarm

原帖由 夏天 于 2009-3-28 12:29 发表
我相信  是巧合   

是一定存在，不是巧合。

原帖由 mk^_^ 于 2009-3-28 12:42 发表
有这个可能性  2的N次方有无穷个  谁也不能把它们写出来

另外 x和N属于正整数吧？

素数有无穷多个，谁也不能把他们写出来，但是你却知道存在无穷多个素数啊，
是要证明一定存在，没让你找出来到底是哪一个，同学。

原帖由 lulijie 于 2009-3-28 13:59 发表
找到一个p，使得  d1的小数部分以足够多的9开头。或者 使得  d2的小数部分以足够多的0开头。

lulijie，你tm太牛了，还差一步就得到正解了，加油，不过这次把完整的解答贴出来吧。

上次也是你，第一个解出了“两个鸡蛋和楼房高度问题于是这次我出了这个“第三件惊奇的事情”问题，没想到你居然那么快就接近答案了”，佩服，佩服，不知道你是做什么工作的啊？

Cielo

原帖由 lulijie 于 2009-3-28 14:21 发表
...推广一下：
证明：对于任意的e1和e2,        0<e1<1 ， 0<e2<1
    一定存在一个正整数p  ，使得                                          （  f= p*e2 -int(p*e2)  即 f 是p*e2的小数部分。）
        f <e1  且    e1-f 小于任意给定的正实数。

只要 e2 不是太特殊，这个论述一定正确！

思路与你以前的一个帖子《自然数的正弦问题》中差不多，
想象一下平面坐标系中有个圆心在原点、周长为 1 的圆周，从（1，0）逆时针走 e1 的距离处有个固定点 P；
现在有一个点从（1，0）出发，每一步都是逆时针走 e2 距离，这样其轨迹就是圆周上的一个又一个的点，只要 e2 不是有理数，这个轨迹将遍历圆周上的所有点，这样必定有无限接近 e1 且比 e1 小一点点的 f 存在！