调和级数一定不是整数

kexin_xiao

做地上学习，数学知识很长时间不用了，退化的太厉害了。

金眼睛

初始的想法一定是通分了，呵呵！让分母等于n！

通分后注意，分母可以整除1到n的任意整数，而分子如果做不到这一点，调和级数的部分和就不能是整数。

假设分子不能整除m，由于分子的每一项（除了第m项，其结果为n!/m ）都有m因子，都是m整数倍，所以只能是n!/m 不能整除m，m很可能是一个质数。

不过2*m一定能整数m，所以就变成了证明n要小于2*m，这样m应该是n当中的最大质数。

经过上面分析，原题等价于证明在n中最大的质数要大于n/2，换句话说也就是n及2*n之间必有一个质数（n大于2）。

关于这个定理的证明教科书上有，有兴趣的朋友可以去翻翻书。

yang_bigarm

原帖由 lulijie 于 2009-3-31 01:08 发表
楼主的题目都很有难度，做楼主的题头发都要掉很多，脑细胞都要死好多。你的题都是哪里出来的？

平时喜欢积累一些这样的问题。

yang_bigarm

原帖由 乌木 于 2009-3-30 23:22 发表
1楼说了在n趋于无穷大时s(n)趋于无穷大，也就是说s(n)不存在（意思指不是一个确定的数），也就谈不上它是整数不整数的了。问题是，n为n>1的有限的值时，此时的s(n)是该级数的部分和，题目应该是问这样的部分和为什么 ...

当然是问前n项的和啦，我在1/n后面没有写省略号啊。

乌木

那么，1楼的倒数第二行说“……那么就是说他会增长到无穷大……”，读者别像我一样误解为式子有省略号。这句话其实是脱开那式子说的；或者，不脱开那式子的话，是指那式子的n趋于无限大时，“那么就是说他会增长到无穷大”。这样一来，该和值就不存在一个确定值，就谈不上整数不整数了。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-4-1 09:22 编辑 ]

lulijie

楼主，原题是怎么证明的，我觉得我前面的用数学归纳法来证明也非常简单啊。
通分以后分子是奇数，分母是偶数，当然不可能是整数。

yang_bigarm

原帖由 乌木 于 2009-3-31 23:26 发表
那么，1楼的倒数第二行说“……那么就是说他会增长到无穷大……”，读者别像我一样误解为式子有省略号。这句话其实是脱开那式子说的；或者，不脱开那式子的话，是指那式子的n趋于无限大时，“那么就是说他会增长到无 ...

多谈一些相关的背景知识嘛，我为了不引起误会，两条线之间的才是问题，其他的可以算作是乱弹的。

yang_bigarm

原帖由 金眼睛 于 2009-3-31 21:51 发表
原题等价于证明在n中最大的质数要大于n/2，换句话说也就是n及2*n之间必有一个质数（n大于2）。

你提的这个问题太大了，“n及2*n之间必有一个质数（n大于2）”这个量级的问题可以做一篇博士论文了，
这个不是我说的，是伟大的Erdos的导师对他说的。

yang_bigarm

原帖由 lulijie 于 2009-4-1 16:28 发表
楼主，原题是怎么证明的，我觉得我前面的用数学归纳法来证明也非常简单啊。
通分以后分子是奇数，分母是偶数，当然不可能是整数。

觉得归纳法对分母从2^k跳变2^(k+1)的时候说得不是很清楚

金眼睛

这个是已经被证明过的定理了，拿来说明你提出的问题就可以了啊，呵呵！否则要推到数学的源头去了。