请教：如何证明三阶魔方不可能发生2对换？

小波

你还不如说把两个块对调，然后输入状态，计算机输出无解算了。

汕头=老沙

我是来学习的/.//////

robester

把魔方的角块位置按照盲拧的记忆编号为1 2 3 4 5 6 7 8，
把魔方的棱块位置按照盲拧的记忆编号为1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
拿到一个打乱的魔方，
看角块1号位上是几号角块，写下一个数字，看2号位上是几号角块，写下一个数字，……如此写下一个8位的数字排列
看棱块1号位上是几号棱块，写下一个数字，看2号位上是几号棱块，写下一个数字，……如此写下一个12位的数字排列
（注：10，11，12算一个数字）
求证：这两个数字排列的奇偶性是一样的。

证明如下：
假设魔方为初始状态（只是为了解释方便而已），
则角块排列为1 2 3 4 5 6 7 8为偶排列，棱块排列为1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12也为偶排列
固定魔方的坐标系不动，然后魔方只有6个转动的元素，即UDRLFB
U转使角块排列由12345678变为41235678为奇排列，棱块由123456789101112变为412356789101112也为奇排列
D转使角块排列由12345678变为12348567为奇排列，棱块由123456789101112变为123456781291011也为奇排列
R转使角块排列由12345678变为12485637为奇排列，棱块由123456789101112变为1238564 12 9 10 11 7也为奇排列
L转使角块排列由12345678变为26341578为奇排列，棱块由123456789101112变为16342 10 7 8 9 5 11 12也为奇排列
F转使角块排列由12345678变为52318674为奇排列，棱块由123456789101112变为523496718 10 11 12也为奇排列
B转使角块排列由12345678变为13745268为奇排列，棱块由123456789101112变为127453 11 8 9 10 6 12也为奇排列

即单次90度转同时改变了两个排列的奇偶性，即角块和棱块这两个排列要么同时为奇排列，要么同时为偶排列。

而单独交换两个角块（或者棱块）只改变了角块（棱块）排列的奇偶性，而棱块（角块）的奇偶性没变，所以单独交换两个角块（棱块）是不可能实现的

robester

我用的初等数学的方法，应该有高等数学的的方法解的，比如线代数论等

何谓排列的奇偶性
一个数字排列的逆序的个数，为奇数个，则排列为奇排列，为偶数个，则为偶排列
比如
12345678中的后面每个数都比前面大，即没有逆序，则这个排列为偶排列
21356478中的后面和前面比，1比2小，4比5小，4比6小，即逆序有21，54，64共三个，则这个排列为奇排列
21345678中的逆序有21共一个，则这个排列为奇排列
31265487中的逆序有31，32，65，64，54，87共六个，则这个排列为偶排列

[ 本帖最后由 robester 于 2009-4-12 20:00 编辑 ]

kexin_xiao

坐地上学习一下

Cielo

这个问题都被问了好多遍了

13、14楼的回答很好！

lsx

7楼：这不是反证，而且也不是试验论证，我在一楼说了：“费马大定理，你能说因为找不到解就说它不可能吗？”魔方，你能因为说“我转了，转了半天也没转回去”，于是就得出结论：“这个魔方不可复原”吗？
谢谢

lsx

13，14楼：谢谢你说了这么详细，但是首先，我有一定的魔方基础，可以不用这么详细（我没说写得详细这不好哈~）；其次，你的想法（或者说这篇文字的原创者的）我也想过，但是我认为这论证的不够，因为，比如说U吧，它会使角簇排列变成奇排列，因为，角簇可以（请注意这个用词）用奇数次置换后复原，于是我们称之为奇排列，可是，如何证明奇数次置换不可以（请注意这个用词）用偶数次置换复原？
另外，我知道如果一个魔方经过偶数次置换后可以复原（对于奇数阶魔方，而且可以推广到中心块移动，比如M，这样就可以不必以中心轴为坐标了），那么它就是可以复原的，但是我不知道如何证明可以用奇数次置换还原的魔方（如果阶数大于3，那么中心块要是有向的）不可以用偶数次置换还原？
谢谢

lsx

于是证题可以简化为：『有n个元素，各有自己的位置，试证明经过奇数次置换后不可能恢复到初始状态』

smok

逆序对方法只能证明一个簇奇偶变换问题，关于三阶为什么不能发生独立二棱对换，上面恐怕连思路都错得十万八千里，这是扰动问题，只要明白扰动关系是如何构成，你就会明白为什么不能发生二棱对换，这样讨论的陈年老贴实在太多