存在这样的运算吗？ 如果有，有多少个？

yilonglucky

额……运算系统啊……书到用时方很少啊……
上学期学离散数学没好好学……

迷失东京

可以的，把它看做是以12为模的剩余类全体，即把1当做被12除余1的数的类，2当做被12除余2的数的类，...以此类推,然后定义S中的代数运算:就是被12除余a的和被12除余b的经过运算变成被12除余a+b的（注意不能为ab），这样S关于这个代数运算(加法)就作成一个群，我们称之为以m为模的剩余类加群（同余类加群），这样以上各条就都满足了。思考欠妥之处，还请大家指正。-

superacid

原帖由 迷失东京 于 2009-6-2 19:17 发表
可以的，把它看做是以12为模的剩余类全体，即把1当做被12除余1的数的类，2当做被12除余2的数的类，...以此类推,然后定义S中的代数运算:就是被12除余a的和被12除余b的经过运算变成被12除余a+b的（注意不能为ab），这样 ...

那么4※8=?

yq_118

貌似不存在这样的运算

superacid

答案是存在的

Cielo

原帖由 superacid 于 2009-6-2 21:50 发表
答案是存在的

这么肯定啊……

素数阶群是循环群，所以我们实际上需要把1~11中的运算※和0~10中的加法（mod11）运算对应起来（就是群的同构）。
首先1是单位元，必然对应着加法群中的单位元0，
由于循环群中各非单位元的对称性，就直接设2对应1，
这样2※2=4就对应着1+1=2，所以4对应2，
同理8对应3，
然后就比较自由了，有很多种选择，比如我让3对应4，
这样2※3=6就对应着1+4=5，所以6对应5，
同理9对应8，
然后我让5对应6，
得到10对应7，
再让7对应9、
11对应10，
就可以利用0~10的加法群（mod11）反推出※运算了。

（不知道上述对应具体对不对，反正思路应该就是这样了吧）

[ 本帖最后由 Cielo 于 2009-6-3 02:11 编辑 ]

conwood

群论不太记得了
群要求：封闭性、结合律、单位元、逆元。

按楼主的定义，封闭性是肯定的。结合律也有，根据(4)知道有单位元。根据消去律，知道有逆元。所以必须是群，素数阶有限群的结构是唯一的，所以这个群应该同构于0~10的模11加法群。

而这个群和ab<11时，axb=ab的结构不一致，所以不存在。

这个证明有问题吗

原帖由 Cielo 于 2009-6-3 01:38 发表


这么肯定啊……

素数阶群是循环群，所以我们实际上需要把1~11中的※运算和0~10中的加法（mod11）运算对应起来。

superacid

恭喜答对，是正确的。

superacid

群论我也不太懂。

lulijie

不需要把※一定与我们常见的运算相对应。
根据第4和1条件，可得出以下结论
1※1=1，1※2=2，1※3=3，1※4=4，1※5=5，1※6=6，1※7=7，1※8=8，1※9=9，1※10=10，1※11=11
2※1=2，2※2=4，2※3=6，2※4=8，2※5=10
3※1=3，3※2=6，3※3=9
4※1=4，4※2=8
5※1=5，5※2=10
6※1=6
7※1=7
8※1=8
9※1=9
10※1=10
11※1=11
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11个元素，※运算总共有11*11=121种式子，其中上述的29个式子已经确定。
确定剩下的92个式子，使得其都满足前三个条件。第三个条件要求这11个元素（1到11共11个数）乘以同一个元素所得的值都不相同（结果也是1到11中的某数）。
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我有个想法，可以让电脑采用穷举法，穷举这92个式子，然后检验它们是否都满足那三个条件。全部满足的让电脑记下它们。这样就能找到满足条件的所有的※运算。
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关键是如何设计优化算法，使得电脑计算的时间不至于难以忍受。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-6-6 00:26 编辑 ]