几个根基东西的证明

乌木

有关各块的换位问题的基础原来如此。基本原理在实际魔方中的体现，我还要继续琢磨。

那么，不涉及换位时，为何（例如3阶）不能单独就地翻一个棱块而其他块不变、不能单独就地翻一个角块而其他块不变、单独就地转一个中心块90°不可但180°可以，等等，也与本帖所述的基本原理有关吗？

我感觉应该有关（因为此类不换位只复原颜色的操作离不开旋转各个层），只是不会解释。

pengw

QUOTE:

以下是引用乌木在2006-11-9 17:25:25的发言：

有关各块的换位问题的基础原来如此。基本原理在实际魔方中的体现，我还要继续琢磨。

那么，不涉及换位时，为何（例如3阶）不能单独就地翻一个棱块而其他块不变、不能单独就地翻一个角块而其他块不变、单独就地转一个中心块90°不可但180°可以，等等，也与本帖所述的基本原理有关吗？

我感觉应该有关（因为此类不换位只复原颜色的操作离不开旋转各个层），只是不会解释。

问得好，不妨留在这里大家讨论

邱志红

（承接一楼的，算是Part 2）

下面讨论的是魔方的色向问题，N阶魔方存在色向的块其实就只有8角块与12中棱块，6个面心块也可以说存在色向问题，但可以当做是与角块，棱块位置相关联的位置问题。这里就不谈了。

关于该问题我还是沿袭前面的方法。用数的排列来解决。

先来看看8个角块的情况。下图：

这是我对魔方表面块位的编码。注意这不是2阶魔方，这是N阶魔方的8个角块。现在处于初始状态，其数字排列则记为：

1 2 3/4 5 6/7 8 9/10 11 12/13 14 15/16 17 18/19 20 21/22 23 24

每三位用斜线隔开，分成八个部分，对应于八个角块。

特别注意，初始状态时，“1”所在的位置代表1号位。“2”所在的位置代表2号位。依次类推，“n” 所在的位置代表n号位。n小于或等于24。

对于初始状态来说，1号位上的数字是1，2号位上的数字是2，n号位上的数字是n。但转动以后就不是这样了。转动之后状态的数字排列就按1号位到24号位上的数字依次3位隔开排列就是了。

举个例子，顶层顺时针转动90度之后的排列就是：

10 11 12/1 2 3/4 5 6/7 8 9/13 14 15/16 17 18/19 20 21/22 23 24

意思就是1号位上的数字是10，2号位上的数字是11……，依次类推。这就是色向问题的数字排列的确定方式，按位依次进行。

下面给一个新定义。

逆位：魔方某个角上的三个数中的某个数大于它在这个角上初始所在的位置号，就称为一个逆位。一个排列中的所有逆位的数目称为逆位数。

注意定义中的“大于”。 一个角上某个数小于它在这个角上初始所在的位置号并不是逆位，这要与前面的逆序区别开来。这很容易弄错，所以特别强调。

很容易就发现上面顶层转动90度之后的排列

10 11 12/1 2 3/4 5 6/7 8 9/13 14 15/16 17 18/19 20 21/22 23 24

的逆位数就是：0

再看看123与456对应角块的扭转情况，假设123角块是顺时针旋转，而456角块是逆时针旋转，这是符合时候的一种扭转情况。它对应的排列就是：

3 1 2/5 6 4/7 8 9/10 11 12/13 14 15/16 17 18/19 20 21/22 23 24

数字3，5，6逆位了，逆位数就是：3

关于逆位数的运算。其实变换过程相当于现实中魔方角的扭转。运算过程是3进制

假设某个角上有三个数。p₁<p₂<p₃,初始排列就为p₁ p₂ p₃ 。

三个数向右轮换一次，就成了p₃ p₁ p₂ ，有且只有p₃就逆位了，逆位数增加1。

三个数向左轮换一次，就成了p₂ p₃ p₁ ，于是p₂，p₃就逆位了，逆位数增加2。

而p₂ p₃ p₁ 向右轮换一次，就成了p₁ p₂ p₃ 。逆位数由2增加1到3，由于是3进制，就变为10，为了方便只取个位0。总结起来就是：

三个数向右轮换一次，逆位数增加1。三个数向左轮换一次，逆位数增加2。满3变0。

于是有定理：

N阶魔方角块状态的逆位总数是0。

证明还是用数学归纳法

1． 初始状态的逆位数是0。满足定理。

2． 假设转动m 次之后，排列的逆位数满足该定理。

转动m+1 次之后。

第m+1次转动有12种情况。顺时针转动90度与逆时针转动90度论证过程类似，这里只论顺时针转动90度的情况。于是这里只论证6种情况，另外注意观察，发现顶层顺时针转动90度与底层顺时针转动90度的情况类似，而且4个侧面顺时针转动90度的情况也互相类似，所以这里最后只论证顶层顺时针转动90度与前面层顺时针转动90度的情况。

 （1）顶层顺时针转动90度的情况。

 
 

m次转动之后的排列状态为（底层的情况不变就略去了）：

m₁ m₂ m₃ /m₄ m₅ m₆ /m₇ m₈ m₉ /m₁₀ m₁₁ m₁₂ /……

转动m+1次以后：

m₁₀ m₁₁ m₁₂ /m₁ m₂ m₃ /m₄ m₅ m₆ /m₇ m₈ m₉ /……

各角上三个数的排列顺序没有变化，也就保持了原来的逆位数了，是0。

（2）前面层顺时针转动90度的情况。

 

m次转动之后的排列状态为（后层的情况不变就略去了）：

m₁ m₂ m₃ /m₄ m₅ m₆ /……/m₁₃ m₁₄ m₁₅ /m₁₆ m₁₇ m₁₈
 

转动m+1次以后：

m₆ m₄ m₅ /m₁₆ m₁₇ m₁₈ /……/m₃ m₁ m₂ /m₁₅ m₁₃ m₁₄
 

/m₁₆ m₁₇ m₁₈/对应的这个角上的三个数顺序没有变，其他的三个角上的数都向右轮换一次，逆位数增加3，满3变0。逆位数增加0，最终逆位数为0。

底层的变换情况与顶层的情况类似，其他三个侧层的变换情况与前层的情况类似，可以同理证明。

由上面两条，定理得证。

从证明的过程，可以看出主要的地方在于对八个角表面24个“位子”的编码方法上面，而逆位数的定义只是把扭转数字化而已。我图中的编码不是随便填的，是很有规律的，致使顶层与底层怎么旋转都不会使逆位数变化，而四个侧面的旋转都会保持一个角上的逆位数不变，而另外三个角的轮换都朝一个方向进行，导致逆位数不变。

一般大家都能很容易理解角块原地的扭转，但不是原地的扭转就很难理解了。而采用这种编码方法，大家应该能很容易理解角块不是原地的扭转的时候，八个角是怎么扭转的。

但这种编码方法还是有些不足的地方，因为没有能统一六面的扭转情况。明显地在转动90度的时候，底层角块的扭转情况与顶层角块的扭转情况相同，四角都不扭转，而四个侧面的角块的扭转情况相同，一个角不扭转，其他三个角同向扭转。六个面就被我人为地分为两类了。这就像盲拧里面，顶面与底面高级面，其他面就是相对低级的面了。

所以按我的编码方法来理解角块的扭转就要注意分这两类情况来进行，不可一概而论。

显然这对于描述角块的扭转情况并不完美，但我们要描述的是八个角块色向状态，不是角块的扭转情况。在这一点上，我的编码方法以及人为地将面分为高级面与低级面的做法是完全可行的，是足够描述魔方角块的色向状态并能假以严格证明的。 
 

[此贴子已经被作者于2006-11-16 15:49:55编辑过]

邱志红

(  承接上一楼的，还属Part2)

现在来看看棱块的情况。与角块的情况是很类似的，而且更简单。看下图：

24个数的排布是很有规律的。同一面上的四个数奇偶相间排成一圈。

还是一样的，这里的“1”所在的位置代表1号位。“2”所在的位置代表2号位。依次类推，“n” 所在的位置代表n号位。n小于或等于24。确定转动后的排列就按位依次纪录各位上的数就可以了，并两位两位地用斜线隔开。

而且“逆位”在这里也适用，其定义是一致的。

逆位数的运算也是一致的，只是换了二进制来进行了。规则类似地是：

两个数轮换一次（对换），逆位数增加1。满2变0。

比如初始状态：

1 2/3 4/5 6/7 8/9 10/11 12/13 14/1516/17 18/19 20/2122/23 24

前层顺时针转动90度以后：

8 7/2 1/4 3/6 5/9 10/11 12/13 14/1516/17 18/19 20/2122/23 24

相应的定理：

N阶魔方棱块状态的逆位总数是0。

证明还是用数学归纳法

1． 初始状态的逆位数是0。满足定理。

2． 假设转动k 次之后，排列的逆位数满足该定理。

转动k+1 次之后。

第k+1次转动有12种情况。顺时针转动90度与逆时针转动90度论证过程类似，这里只证论顺时针转动90度的情况。于是只论证6种情况，注意观察，发现六个层顺时针转动90度的情况都相互类似，所以这里最后只论证前面层顺时针转动90度的情况。

前面层顺时针转动90度的情况。

k次转动之后的排列状态为（其他层的情况不变就略去了）：

k₁ k₂ / k₃ k₄ / k₅ k₆ / k₇ k₈ /……

转动k+1次以后：

K₈ k₇ / k₂ k₁ / k₄ k₃ / k₆ k₅ /……

四个棱上的数字都轮换（对换）一次，逆位数增加4，满2变0。逆位数增加0，最终逆位数保持不变为0。

其他五个面以及逆时针转动90的情况可以同理证明。

由上面两条，定理得证。

它的应用大家都有体会，就是两个棱块同时翻。同样地，原地翻转大家都能很容易理解及判断，但大家遇到不是原地的翻转就不知道怎么判断了。我的编码方法就给了一个很好的判断标准。

引申一下，单色向或称无色向的块所在的簇还是可以用1到24来进行编码，只是形式都类似下面的样子：

1/2/3/4/5/6/7/8/9/10/11/12/13/14/15/16/17/18/19/20/21/22/23/24

发现隔不隔开已经意义不大了，因为各个部分内部不存在轮换了，也没有了逆位的说法了，只存在文章最初单纯的位置轮换关系了。至于这么隔开记是为了让大家明白色向问题的一般表示方式及一般性。

最后在色向变换过程中，这里是分角块与棱块分别独立进行讨论的，但从魔方整体上来讲各块还是一样遵循着开头提出的魔方位置状态的定理。

比如角块：1 2 3/4 5 6/7 8 9/10 11 12/13 14 15/16 17 18/19 20 21/22 23 24

分别取出各角上的最小的一个数（事实上，随便取都行）排成一行，并去掉分隔线，就是：

1 4 7 10 13 16 19 22

这八个数差是多少等并不重要，重要的是有大小关系，并且初始是按升序排列就行了。抽象地记为：

p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ p₇ p₈

棱块也一样地取出12个数，按升序排列，抽象记为：

q₁ q₂ q₃ q₄ q₅ q₆ q₇ q₈ q₉ q₁₀ q₁₁ q₁₂

结合起来，记为p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ p₇ p₈ q₁ q₂ q₃ q₄ q₅ q₆ q₇ q₈ q₉ q₁₀ q₁₁ q₁₂。

这样得到的一个排列一样也满足魔方位置状态的定理。

总的说来，大的方面，各块满足魔方位置状态定理，排列的奇偶性不变。小的方面，就是色向问题，有色向块满足色向定理，即逆位数为0。

小结：上面的几个定理就勾画出了N阶魔方的状态，但我没有进一步总结出N阶魔方的状态定理。我想要大家学会的是分析魔方问题的方法，让大家知道魔方现实状态的来龙去脉，以及结构是怎样决定性质（状态）。如此而已

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帖子原创者:邱志红

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作者希望
若能为同好做出有益的参考,实为本人最大满足,希望我的论文终结除最优解法以外的所有困惑.
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完成日期:2006年11月14日
发表日期:2006年11月15日

 

[此贴子已经被作者于2006-11-16 15:51:34编辑过]

邱志红

终于完成了，现在大家就可以拿我的这几个定理去验证一下现实中魔方的状态，看是否经得起考验。

想要原始word文档的也可以发邮件向我索取。

我的邮箱：gongsui002@163.com

乌木

邱兄辛苦了，谢谢。

感觉和以前读过的、冬兄的关于“色向和”等等内容（当时曾成功用来分析某一打乱态合法非法问题。现在再要用的话，由于不在状态，还得重读的），有异曲同工之妙。只是感觉，没有仔细比较。即使有区别，大概只是方法、角度之别。

好像邱兄的有过程（转动），冬兄的这方面文章过程不主要，结果讲清，便于应用。两位的结论应一样，因为魔方规律还是一样的。各位魔友，最好是两位大家的文章都看，相辅相成。

pengw

邱兄的证明非常好,让大家从数学角度重新认识和理解了"色向和为零"这一结论的数学原理,祝贺兄弟,希望邱兄弟更多地将数学引进魔方理论中,为大家"开眼养心".

邱志红

(继续更新，Part3了)

牛刀小试一下,应用实例：

先看一个考最短复原步骤的题目，12.31日题：http://bbs.mf8-china.com/dispbbs.asp?boardID=18&ID=475&page=2

 该题还被老大作为图解三阶盲拧的教程的实例：http://bbs.mf8-china.com/dispbbs.asp?boardID=17&ID=493&page=1

这个算是应用很多的一题，大家也应该都有所了解，那我就那它开刀了。

它的打乱步骤：F2 L D' (F2 R' B U2 R)×4 L2 R' D (B2 R D')×5 L D2 U' F' R2

下面是打乱前与打乱后的对照图：

 

为了方便讨论，一直固定中心块。再拆分角块与棱块来讨论各自的色向问题，后合并角块与棱块来讨论整体的位置问题。

（1）角块的情况：

打乱前的排列是：1 2 3/4 5 6/7 8 9/10 11 12/13 14 15/16 17 18/19 20 21/22 23 24

逆位数是0。

打乱后的排列是：22 23 24/2 3 1/4 5 6/7 8 9/16 17 18/19 20 21/11 12 10/14 15 13

逆位数是6，满3变0，最后逆位数是0。

角块的色向是满足定理的。

顺便取出打乱后的排列中各角最小的数组成新的排列：

22  1  4  7  16  19  10  13

逆序数为11。

（2）棱块的情况：

 

打乱前的排列是：1 2/3 4/5 6/7 8/9 10/11 12/13 14/15 16/17 18/19 20/21 22/23 24

逆位数是0。

打乱后的排列是：12 11/7 8/2 1/4 3/13 14/18 17/24 23/5 6/22 21/20 19/9 10/16 15

逆位数是8，满2变0，最后逆位数是0。

棱块的色向是满足定理的。

顺便取出打乱后的排列中各棱最小的数组成新的排列：

11  7  1  3  13  17  23  5  21  19  9  15

逆序数为23。

（3）把角块的逆序数与棱块的逆序数综合起来就是：11+23=34。而初始逆序数是0，都是偶排列，没有改变排列的奇偶性。满足定理。

验证完毕。

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作者希望
若能为同好做出有益的参考,实为本人最大满足,希望我的论文终结除最优解法以外的所有困惑.
发行日期

完成日期:2006年11月15日
发表日期:2006年11月16日

[此贴子已经被作者于2006-11-17 9:34:33编辑过]

pengw

非常好，虽然结论是预料之中的事，但从数学角度再次证明了以往的总结是正确的，可贺可喜

邱志红

最近在学做flash,下面就是我做的翻页动画，用鼠标可以翻动书的角或边。

http://www.imagecabin.com/?view=163988291e992b8b3f867bf54

该flash受保护了，而且提供的窗口太小，完全达不到应有的效果。推荐下载来看。稍做改动就是下载地址：

http://www.imagecabin.com/files/2006/11/19/163988291e992b8b3f867bf54.swf

或者先打开上面的一个，再打开下面的一个，就可以方便的在线看了（是全屏的了）。

内容就是我这里发表的帖子，只是包装了一下，显得庄严正式。

推荐用TheWorld浏览器，它可以方便保存。用下载工具也可以下载下来，或者我直接传给你。

当然我还是个flash新手，该flash有些粗糙简陋，当然还有许多不完善的地方。

[此贴子已经被作者于2006-11-20 11:19:47编辑过]