三道数学题（数学发烧友不容错过）

铯_猪哥恐鸣

再次强调一下3楼的身份：全国高中数学联赛上海市第四名，全国决赛获银牌。。这种题目还是听他的好。。。

superacid

这才对嘛......

superacid

第一小题实际上就是图论中的托兰定理：一个简单图有n个点，且没有度为3的圈，则至多连[n^2/4]条线。（忽略）
下面做第二小题
用数学归纳法：首先，4个点连3条线显然有3个三角形；
假设在空间任取2k个点，连k^2+1条线，至少有k个三角形，下面证明k+1的情况：
设原有的2k个点为C1,...,C2k,，新增加的两个点为A.B，新增加2k+1条线
若C1,...,C2k间至少有k+1个三角形，则假设成立；
若C1,...,C2k间只有k个三角形：
    首先，如果在C1,...,C2k之间再连一条线，就一定能增加一个三角形。        (1)
        如果不增加，连上这条线，去掉某一个三角形的一条边，则三角形个数小于k，与(1)矛盾。
    如果新增加的线不能和原来的线新组成一个三角形，                        (2)
        那么新增加的线必须在A与Ci，B与Ci，A与B之间相连，且不能形成三角形，因为要连2k+1条线，
        必须A与B相连且所有的Ci都与A或B相连，且仅与A,B之一相连
        设A与A1,...,As相连，B与B1,...,Bt相连，{A1,...,As,B1,...,Bt}={C1,...,C2k}
        所有的Ai与Bj之间最多连了st条线，st<=((s+t)/2)^2=k^2
        而C1,...,C2k之间连了k^2+1条线，
        所以必有Ai或Bi内部连线，不妨设为Ai与Aj连线，则AAiAj为新增加的三角形，与(2)矛盾。
所以归纳假设成立。得证。

edmond-xym

原帖由 铯_猪哥恐鸣 于 2009-6-25 01:12 发表
再次强调一下3楼的身份：全国高中数学联赛上海市第四名，全国决赛获银牌。。这种题目还是听他的好。。。

不止一次看您这么说他了，说实话有些看不下去了。
其实这个成绩没什么可吓唬人的，这里也有许多比他强的。再说句不中听的话上海的数学竞赛是什么水平还用说么？行里人都清楚。
我说这些并不是想比什么成绩。
成绩毕竟都属于过去，有实力就来解题好了。
大家是因为相同的兴趣凑到一起，能和兴趣爱好一样的人在一起讨论问题是一件很高兴的事情。没必要在问题还没解决之前就拿什么成绩压人。
我说这些并不是针对你和那个人，只是觉得光强调成绩不是很舒服。

superacid

原帖由 edmond-xym 于 2009-6-28 07:33 发表

不止一次看您这么说他了，说实话有些看不下去了。
其实这个成绩没什么可吓唬人的，这里也有许多比他强的。再说句不中听的话上海的数学竞赛是什么水平还用说么？行里人都清楚。
我说这些并不是想比什么成绩。
成 ...

事实上，上海数学竞赛在全国处于顶尖水平，你不太清楚吧。

edmond-xym

原帖由 superacid 于 2009-6-28 18:04 发表


事实上，上海数学竞赛在全国处于顶尖水平，你不太清楚吧。

我还真是不太清楚，参加那么多全国竞赛没听说哪位是上海的选手。
我声明了，并不是针对谁，我也没有贴出自己的成绩来，只是觉得没有必要。这里是讨论数学题的地方，不是显示成绩的地方。

lulijie

大家也不要争论了。
我觉得现在这里的数学氛围非常好，这跟这里活跃着一些数学专业的人、数学特长生以及一大批像我这样的数学爱好者很有关系。他们把一些奇妙的、精彩的数学大餐提供给我们，和我们分享，启迪我们的思路，开阔我们的视野，为这个专区，为我们这些数学爱好者作出了很大的贡献。
我1991年高中毕业，1996年参加工作，除了大学中接触一点所谓的高等数学，离开数学已经18年的时间了，但我对数学的热爱始终没变。
这里有这么好的数学氛围，这么多的数学热心者，没有这些热心者提供如此丰富多彩的题目，没有这么多的爱好者捧场，这个板块怎么会有今天。
俗话说顾客是上帝，对于这里，每个发帖者、每个积极参与者都是上帝。

edmond-xym

原帖由 lulijie 于 2009-6-29 00:14 发表
大家也不要争论了。
我觉得现在这里的数学氛围非常好，这跟这里活跃着一些数学专业的人、数学特长生以及一大批像我这样的数学爱好者很有关系。他们把一些奇妙的、精彩的数学大餐提供给我们，和我们分享，启迪我们的 ...

我和您的感受是一样的。我同样热爱数学。今生没能从事和数学有关的工作是我最大的遗憾。正因为有了魔方大家才能聚在一起，认识一些同样喜爱数学的朋友。
就像您说的那样这里讨论数学的氛围很好，说不定还藏龙卧虎呢。既然这样也希望大家能一起来维护这里良好的讨论氛围。
事情的起因就是我看不惯有人拿什么全国的成绩来压人。我还是那句话，不针对任何人任何事任何地方。如果我的话伤害到了谁，再次表示歉意。
只想单纯的讨论数学，还数学一个本来面目。

[ 本帖最后由 edmond-xym 于 2009-6-29 00:26 编辑 ]

superacid

我也是这么想的，不要因为我数学竞赛成绩好就对我出的题目感到惧怕，我在这里讨论的内容一定是比较简单的。
请铯_猪哥恐鸣不要过多宣传。

Osullivan

非常感谢superacid提供的解法！
也很感谢许许多多的数学爱好者一起交流，我觉得吧里大家一起分享好的题目，学习新的思维方式很好，大家不用为一些小事争吵哦，毕竟大家都是为了一起学习，享受数学给我们带来的无穷乐趣！~~~