第n层有多少个n？(Solved)

superacid

建议大家先学一些初等数论再做这道题。

lulijie

我也抛砖引玉，说说我的思路。
用f(n,m)表示第n行第m个数。
那么得到以下递推公式
        f(1,1)=1，f(1,2)=1
        f(n+1,2k-1) =f(n,k)
        f(n+1,2k) =f(n,k)+f(n,k+1)

lulijie

f(n,1)=f(n-1,1)=......=f(1,1)=1
f(n,2)=f(n-1,1)+f(n-1,2)=1+f(n-1,2)=......=n-1+f(1,2)=n
f(n,3)=f(n-1,2)=n-1
f(n,4)=f(n-1,2)+f(n-1,3)=n-1+n-2=2n-3
f(n,5)=f(n-1,3)=n-2
f(n,6)=f(n-1,3)+f(n-1,4)=n-2+2n-5=3n-7
f(n,7)=f(n-1,4)=2n-5
f(n,8)=f(n-1,4)+f(n-1,5)=3n-8
f(n,9)=f(n-1,5)=n-3
。
。
。

superacid

楼上的做法......

noski

长得真像泰姬陵，哈哈

--------------
仿佛看到无数条抛物线从一头扔到另一头，慢慢算一算。。

[ 本帖最后由 noski 于 2009-6-25 16:40 编辑 ]

nick159951

原帖由 铯_猪哥恐鸣 于 2009-6-25 11:55 发表
。。。全国数学竞赛银牌同学。。。你就不要再出这类题目杀死无辜的魔友们的脑细胞了啊。。。（本来看到题目还蛮兴奋。。一看出题的人就直接放弃了。。。）

````·····幸好我一开始也没打算想·····

superacid

如果把题目改为问第2009行有多少个2009是不是可以用计算机编程算出来的吧......
铯_猪哥恐鸣作为一个高三全国联赛上海赛区计算机和物理名次都是N的人，数学不应该差到这道题都没有想法。
可以编程找规律的。

Osullivan

原帖由 lulijie 于 2009-6-25 12:50 发表
我也抛砖引玉，说说我的思路。
用f(n,m)表示第n行第m个数。
那么得到以下递推公式
        f(1,1)=1，f(1,2)=1
        f(n+1,2k-1) =f(n,k)
        f(n+1,2k) =f(n,k)+f(n,k+1)

12#用递推，不错~~~
我也有此想法~~~~
归纳猜想不知道行不行~~~~~
我还有个想法是从第n行开始，倒着看，晚上算算看行不？~~~~~

kexin_xiao

你的帖子让我联想到《越狱》

lulijie

2009行共有2^2008+1个数，是个天文数字。
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引入一个定义：
    a，b
一次填充变为  a，a+b，b
两次填充：上述一次填充后的数列，每相邻的数之间填入1个数，值等于相邻两数的和。
        即变为：a，2a+b,a+b，a+2b，b
三次填充：  上述两次填充后的数列，每相邻的数之间填入1个数，值等于相邻两数的和。
。。。。。。
n+1次填充：上述n次填充后的数列，每相邻的数之间填入1个数，值等于相邻两数的和。
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这2^2008+1个数，可以这样填充。
第一步填充：
1，2009，2008，2007，2006，......，4，3，2，1
第二步填充：
    2009，2008之间不填充
    2008，2007之间填充1次，即填入4015
    2007，2006之间填充2次，即填入（2007），6020，4013，6019，（2006）三个数
    ......
     i   ,     i -1          之间填充 2009-i 次
    ......
   3，2之间填充2006次
   2，1之间填充2007次。  （ 其实上述填充后的数列是以2为左右对称。可以不用填充，参照2左边的数列就可）
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第2009行数列中，第一个2009为第二个数
     第二个2009，为1005和1004之间填充入的数（1005，1004之间共需填充1004次，第1次填入的就是2009）
     第三个2009，为670和669之间填入的数
（670，669之间共需填充1339次，（670），2009，1339，2008，（669），第2次填入的数中有2009）
    ......
这是我的一个思路，还是比较复杂。