真的永远追不上？

flary

楼上的讨论都很好，我对这个问题多少有些了解，也来聊两句。

这是一个很好的问题，但把它叫做悖论并不是十分妥当。悖论是指以一个被承认为真的命题为前提，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论；反之，以先前被承认的命题的否命题为前提，亦可得互为矛盾命题的结论。比较著名的有罗素悖论，理发师悖论等等。现在这个问题之所以得出看起来荒谬的结论，是由于推理上的直接逻辑错误所导致，而不是在进行了正确的推理后得到矛盾的结果。

这个问题确实可以用很多不同的版本来表达。比较权威的就是阿基里斯和乌龟。前面有的朋友说是阿基米德那也无所谓，但最好还是说阿基里斯标准一点。阿基里斯就是那个全身都刀枪不入唯独脚后跟不行的那个人。。。

来说这个问题。从小红和小明怎么怎么样开始，讲了一大堆，它所要表达的意思无非就是“小明不得不无数次地追赶小红领先他的距离”。这话并没有错，但问题出在最后一行的“以此类推，小明只能无限的接近小红，却永远超不过她”中的“以此类推”。事实上这个类推是错误的，它的症结在于否定了可收敛的正项级数的存在性，学过数学分析的人都应该可以看懂我这句话。说的通俗一点，就是这个“类推”默认了无穷多个正数相加等于无穷。但实际上，无穷多个正数相加，结果可以是有限的。所以，虽然小明不得不无穷多次地向前跑一段距离来追赶小红，但幸运的是，他所需要跑的这无穷多个距离段的总和却是一个有限的距离。因而在有限的时间内他就可以追上可爱的小红妹妹了。

无穷多个正数相加等于一个有限数的例子非常多，例如1/2+1/4+1/8+…=1，20+10+5+2.5+…=40等等。事实上这里所谓的“相加”已经并非初等数学中的有限个对象相加的概念，而是需要借助极限的理论重新定义过，具体的理论可以在任何一本正规的数学分析教材中找到，有兴趣的朋友可以看看，多了解一点正统的数学对于清晰地理解我们的生活还是大有好处的。